I.4. Stabilité et image du transfert
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non-archimédien, l’image Im(H A ˜
G
) de l’homomorphisme H A ˜
G
est un réseau de
A ˜
G , tandis que A ˜
G (F )
c est un sous-groupe ouvert de A ˜
G (F ). On munit A ˜
G (F )
de la mesure de Haar telle que mes(A ˜
G (F )
c ) = mes(A ˜
G / Im(H A ˜
G
)). Si F est
archimédien, on munit A ˜
G (F )
c de la mesure de Haar de masse totale 1. La suite
1 → A ˜
G (F )
c
→ A ˜
G (F ) → A ˜
G → 0
est exacte et on munit A ˜
G (F ) de la mesure compatible avec cette suite et avec les
mesures déjà fixées sur les deux autres groupes.
Commençons par supposer F non-archimédien. Pour tout sous-tore tordu
maximal ˜
T de ˜
G, munissons T
θ,0 (F ) d’une mesure de Haar. Notons ˜
G reg (F )/ conj
l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans l’ensemble ˜
G reg (F ). Pour
γ ∈ ˜
G reg (F ), l’application
G γ (F ) → ˜
G reg (F )/ conj
t
→
classe (tγ)
est injective dans un voisinage de 1. On munit ˜
G reg (F )/ conj de la topologie (ou
de la structure de variété analytique sur F ) et de la mesure telle que, pour tout γ,
cette application soit, au voisinage de 1, un isomorphisme préservant la mesure.
On a alors la formule d’intégration, pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) :
˜
G(F )
f (γ)dγ =
˜
Greg(F )/ conj
Φ(γ, f )D
˜
G (γ)dγ,
où
Φ(γ, f ) =
ZG(γ;F )\G(F )
f (g
−1 γg)dg.
Soient f 1 , f 2 ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), supposons les supports de f 1 et f 2 contenus dans
l’ensemble ˜
G(F ) ell des éléments elliptiques réguliers de ˜
G(F ). On pose
(1)
J ˜
G (ω, f 1 , f 2 ) =
A ˜
G (F )\G(F )
˜
G(F )
f 1 (γ)f 2 (g
−1 γg)dγω(g)dg.
Cette intégrale est absolument convergente et on a
(2)
J ˜
G (ω, f 1 , f 2 ) =
˜
G(F ) ell / conj
i(γ)
−1 mes(A ˜
G (F )\G γ (F ))I
˜
G (γ, ω, f 1 )I
˜
G (γ, ω, f 2 )dγ,
où on a posé i(γ) = [Z G (γ; F ) : G γ (F )] et où on rappelle la définition
I
˜
G (γ, ω, f ) =
⎧
⎨
⎩
D
˜
G (γ)
1/2
Gγ (F )\G(F ) ω(g)f (g
−1 γg)dg,
si ω est trivial sur Z G (γ; F )
0,
sinon.
.