110
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Dans la formule (2), on peut considérer que f 1 et f 2 ne sont plus des fonctions
sur ˜
G(F ) ell mais sont plutôt leurs images dans I cusp ( ˜
G(F ), ω). Cela définit un
produit hermitien sur un sous-espace de I cusp ( ˜
G(F ), ω), à savoir l’image de l’espace des fonctions à support elliptique régulier. Il résulte de la formule des traces
locale que la même formule (2) s’étend en un produit hermitien sur tout l’espace
I cusp ( ˜
G(F ), ω) (c’est-à-dire que cette formule reste absolument convergente), cf.
[81] 6.6(1).
Considérons le cas particulier où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On dispose de la donnée endoscopique maximale G pour laquelle SI(G) =
SI( ˜
G(F )). On a aussi SI cusp (G) = SI cusp ( ˜
G(F )). La proposition 4.11 identifie cet
espace à un sous-espace de I cusp ( ˜
G(F )). C’est le sous-espace des f ∈ I cusp ( ˜
G(F ))
dont les intégrales orbitales sont constantes sur toute classe de conjugaison stable
fortement régulière. Le produit hermitien ci-dessus se restreint en un tel produit
sur ce sous-espace. Notons ˜
G(F ) ell l’ensemble des éléments fortement réguliers
et elliptiques de ˜
G(F ) et ˜
G(F ) ell / st-conj l’ensemble des classes de conjugaison
stable contenues dans ˜
G(F ) ell . Par le même procédé que ci-dessus, on le munit
d’une topologie et d’une mesure. Pour f 1 , f 2 ∈ SI( ˜
G(F )), on a l’égalité
(3)
J ˜
G (f 1 , f 2 )
=
˜
G(F ) ell / st-conj
k(δ)
−1 mes(A ˜
G (F )\G δ (F ))S
˜
G (δ, f 1 )S
˜
G (δ, f 2 )dδ
où, pour toute classe de conjugaison stable δ, on a noté k(δ) le nombre de classes
de conjugaison par G(F ) contenues dans δ. Remarquons que les centralisateurs
sont connexes dans le cas où la torsion est intérieure.
Revenons au cas général, soit G
= (G
, G
, ˜
s) ∈ E( ˜
G, a). On peut choisir des
données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 de sorte que le caractère λ 1 soit unitaire, cf. 7.1.
Pour f 1 , f 2 ∈ SI λ1,cusp ( ˜
G
1 (F )), la fonction
δ 1 → S
˜
G
1 (δ 1 , f 1 )S
˜
G
1 (δ 1 , f 2 )
sur ˜
G
1 (F ) ell se descend en une fonction de δ ∈ ˜
G
(F ) ell / st-conj. Modulo les choix
de mesures de Haar sur G
(F ) et A G (de cette dernière se déduisant une mesure sur A G (F ) comme plus haut), on peut donc définir le produit J ˜
G (f 1 , f 2 )
par la formule (3) où ˜
G est remplacé par ˜
G
. Quand on change de données auxiliaires, ces formules se recollent et on obtient un produit hermitien J G sur l’espace
SI cusp (G
).
On suppose maintenant fixées des mesures de Haar sur G(F ), sur A ˜
G et sur
G
(F ) pour tout G
∈ E( ˜
G, a). Pour tout tel G
, on a un isomorphisme naturel
A ˜
G → A G . On munit A G de la mesure telle que cet isomorphisme préserve les
mesures. On pose
c( ˜
G, G
) = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
| Out(G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
G
)||π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
))
ΓF )|
−1 .
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Dans la formule (2), on peut considérer que f 1 et f 2 ne sont plus des fonctions
sur ˜
G(F ) ell mais sont plutôt leurs images dans I cusp ( ˜
G(F ), ω). Cela définit un
produit hermitien sur un sous-espace de I cusp ( ˜
G(F ), ω), à savoir l’image de l’espace des fonctions à support elliptique régulier. Il résulte de la formule des traces
locale que la même formule (2) s’étend en un produit hermitien sur tout l’espace
I cusp ( ˜
G(F ), ω) (c’est-à-dire que cette formule reste absolument convergente), cf.
[81] 6.6(1).
Considérons le cas particulier où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On dispose de la donnée endoscopique maximale G pour laquelle SI(G) =
SI( ˜
G(F )). On a aussi SI cusp (G) = SI cusp ( ˜
G(F )). La proposition 4.11 identifie cet
espace à un sous-espace de I cusp ( ˜
G(F )). C’est le sous-espace des f ∈ I cusp ( ˜
G(F ))
dont les intégrales orbitales sont constantes sur toute classe de conjugaison stable
fortement régulière. Le produit hermitien ci-dessus se restreint en un tel produit
sur ce sous-espace. Notons ˜
G(F ) ell l’ensemble des éléments fortement réguliers
et elliptiques de ˜
G(F ) et ˜
G(F ) ell / st-conj l’ensemble des classes de conjugaison
stable contenues dans ˜
G(F ) ell . Par le même procédé que ci-dessus, on le munit
d’une topologie et d’une mesure. Pour f 1 , f 2 ∈ SI( ˜
G(F )), on a l’égalité
(3)
J ˜
G (f 1 , f 2 )
=
˜
G(F ) ell / st-conj
k(δ)
−1 mes(A ˜
G (F )\G δ (F ))S
˜
G (δ, f 1 )S
˜
G (δ, f 2 )dδ
où, pour toute classe de conjugaison stable δ, on a noté k(δ) le nombre de classes
de conjugaison par G(F ) contenues dans δ. Remarquons que les centralisateurs
sont connexes dans le cas où la torsion est intérieure.
Revenons au cas général, soit G
= (G
, G
, ˜
s) ∈ E( ˜
G, a). On peut choisir des
données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 de sorte que le caractère λ 1 soit unitaire, cf. 7.1.
Pour f 1 , f 2 ∈ SI λ1,cusp ( ˜
G
1 (F )), la fonction
δ 1 → S
˜
G
1 (δ 1 , f 1 )S
˜
G
1 (δ 1 , f 2 )
sur ˜
G
1 (F ) ell se descend en une fonction de δ ∈ ˜
G
(F ) ell / st-conj. Modulo les choix
de mesures de Haar sur G
(F ) et A G (de cette dernière se déduisant une mesure sur A G (F ) comme plus haut), on peut donc définir le produit J ˜
G (f 1 , f 2 )
par la formule (3) où ˜
G est remplacé par ˜
G
. Quand on change de données auxiliaires, ces formules se recollent et on obtient un produit hermitien J G sur l’espace
SI cusp (G
).
On suppose maintenant fixées des mesures de Haar sur G(F ), sur A ˜
G et sur
G
(F ) pour tout G
∈ E( ˜
G, a). Pour tout tel G
, on a un isomorphisme naturel
A ˜
G → A G . On munit A G de la mesure telle que cet isomorphisme préserve les
mesures. On pose
c( ˜
G, G
) = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
| Out(G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
G
)||π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
))
ΓF )|
−1 .