I.4. Stabilité et image du transfert
111
La proposition 4.11 nous fournit un isomorphisme
I cusp ( ˜
G(F ), ω) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
)
f
→
(f
G
) G ∈E( ˜
G,a)
.
Chaque espace est muni d’un produit hermitien.
On a supposé le corps F non-archimédien. Dans le cas où F est réel, toutes ces
constructions s’adaptent aux K-espaces. Le produit hermitien sur I cusp (K ˜
G(R), ω)
est la somme directe des produits sur les différents I cusp ( ˜
G p (R), ω). Attention :
dans la formule (3), k(δ) est un nombre de classes de conjugaison dans un Kespace associé à ˜
G
.
Proposition. Soient f , f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω). Alors on a l’égalité
J ˜
G (ω, f , f) =
G ∈E( ˜
G,a)
c( ˜
G, G
)J G (f
G
, f
G
).
Remarque. La démonstration s’inspire de celle du lemme 6.4.B de [48].
Preuve. Tous nos espaces d’intégration sont des revêtements de l’espace
˜
G(F ) ell / st-conj,
cf. 4.9(7). Les mesures sur nos espaces dépendent de choix de mesures sur les
tores. Si on impose à ces choix la même condition qu’en 2.4 (les mesures sur
deux tores se correspondent localement quand il y a un isomorphisme naturel
entre ces deux tores), les revêtements préservent localement les mesures. L’égalité
de l’énoncé résulte d’une égalité plus forte : quand on considère les deux côtés
de la formule comme des intégrales sur ˜
G(F ) ell / st-conj, les fonctions que l’on
intègre sont égales. C’est ce que l’on va prouver. Fixons γ ∈ ˜
G(F ) ell et considérons
les valeurs de nos fonctions sur la classe de conjugaison stable de γ. Si ω n’est
pas trivial sur Z G (γ; F ), ces deux valeurs sont nulles. On suppose ω trivial sur
Z G (γ; F ). Pour G
∈ E( ˜
G, a), le groupe Out(G
) agit librement sur l’ensemble
des éléments de ˜
G
(F ) ell / st-conj qui se projettent sur cette classe de conjugaison
stable. L’ensemble ˙
X
E (γ) est un ensemble de représentants de ces orbites. La
fonction du membre de droite vaut donc
(4)
(G ,δ)∈ ˙
X E (γ)
c( ˜
G, G
)| Out(G
)|k(δ)
−1 mes(A G (F )\G δ (F ))S G (δ, f
G )S
G
(δ, f
G
).
Celle du membre de gauche vaut
i(γ)
−1 mes(A ˜
G (F )\G γ (F ))
γ ∈ ˙
X (γ)
I
˜
G (γ , f)I
˜
G (γ
, f).
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La proposition 4.11 nous fournit un isomorphisme
I cusp ( ˜
G(F ), ω) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI cusp (G
)
Aut(G
)
f
→
(f
G
) G ∈E( ˜
G,a)
.
Chaque espace est muni d’un produit hermitien.
On a supposé le corps F non-archimédien. Dans le cas où F est réel, toutes ces
constructions s’adaptent aux K-espaces. Le produit hermitien sur I cusp (K ˜
G(R), ω)
est la somme directe des produits sur les différents I cusp ( ˜
G p (R), ω). Attention :
dans la formule (3), k(δ) est un nombre de classes de conjugaison dans un Kespace associé à ˜
G
.
Proposition. Soient f , f ∈ I cusp ( ˜
G(F ), ω). Alors on a l’égalité
J ˜
G (ω, f , f) =
G ∈E( ˜
G,a)
c( ˜
G, G
)J G (f
G
, f
G
).
Remarque. La démonstration s’inspire de celle du lemme 6.4.B de [48].
Preuve. Tous nos espaces d’intégration sont des revêtements de l’espace
˜
G(F ) ell / st-conj,
cf. 4.9(7). Les mesures sur nos espaces dépendent de choix de mesures sur les
tores. Si on impose à ces choix la même condition qu’en 2.4 (les mesures sur
deux tores se correspondent localement quand il y a un isomorphisme naturel
entre ces deux tores), les revêtements préservent localement les mesures. L’égalité
de l’énoncé résulte d’une égalité plus forte : quand on considère les deux côtés
de la formule comme des intégrales sur ˜
G(F ) ell / st-conj, les fonctions que l’on
intègre sont égales. C’est ce que l’on va prouver. Fixons γ ∈ ˜
G(F ) ell et considérons
les valeurs de nos fonctions sur la classe de conjugaison stable de γ. Si ω n’est
pas trivial sur Z G (γ; F ), ces deux valeurs sont nulles. On suppose ω trivial sur
Z G (γ; F ). Pour G
∈ E( ˜
G, a), le groupe Out(G
) agit librement sur l’ensemble
des éléments de ˜
G
(F ) ell / st-conj qui se projettent sur cette classe de conjugaison
stable. L’ensemble ˙
X
E (γ) est un ensemble de représentants de ces orbites. La
fonction du membre de droite vaut donc
(4)
(G ,δ)∈ ˙
X E (γ)
c( ˜
G, G
)| Out(G
)|k(δ)
−1 mes(A G (F )\G δ (F ))S G (δ, f
G )S
G
(δ, f
G
).
Celle du membre de gauche vaut
i(γ)
−1 mes(A ˜
G (F )\G γ (F ))
γ ∈ ˙
X (γ)
I
˜
G (γ , f)I
˜
G (γ
, f).