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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
En utilisant la formule 4.9(5) qui exprime l’inverse du transfert et en se rappelant
que | ˙
X (γ)| = k(γ) on transforme cette expression en
d(θ
∗ )
−1 k(γ)
−2 mes(A ˜
G (F )\Z G (γ; F ))
γ ∈ ˙
X (γ)
(G ,δ),(G ,δ)∈ ˙
X E (γ)
Δ 1 (δ 1 , γ )
−1 Δ 1 (δ 1 , γ
)
−1 S G (δ, f
G )S
G
(δ, f
G
).
Comme on le sait, la formule 4.9(5) exprime essentiellement une transformation de
Fourier, les ensembles ˙
X (γ)et ˙
X
E (γ) pouvant être muni de structures de groupes
abéliens finis pour lesquelles ils sont duaux. La somme en γ
des produits de
facteurs de transfert vaut | ˙
X (γ)|, c’est-à-dire k(γ), si (G
, δ) = (G
, δ), 0 sinon.
On obtient
d(θ
∗ )
−1 k(γ)
−1 mes(A ˜
G (F )\Z G (γ; F ))
(G ,δ)∈ ˙
X E (γ)
S G (δ, f
G )S
G
(δ, f
G
).
On veut prouver que cette expression est égale à (4). Il suffit de prouver que, pour
tout (G
, δ) ∈ ˙
X
E (γ), on a l’égalité
(5)
c( ˜
G, G
) = | Out(G
)|
−1 k(δ) mes(A G (F )\G δ (F ))
−1 d(θ
∗ )
−1 k(γ)
−1
mes(A ˜
G (F )\Z G (γ; F )).
On note c ? ( ˜
G, G
) le membre de droite de cette relation. Notons T le centralisateur
de G γ dans G et T
= G δ . On a G γ = T
θ,0 , Z G (γ) = T
θ et T
= T /(1 − θ)(T ). De
l’homomorphisme ξ T,T se déduit un homomorphisme
a : A ˜
G (F )\T
θ (F ) → A G (F )\T
(F ).
L’homomorphisme ξ T,T : T
θ (F ) → T
(F ) conserve localement les mesures. Par
contre, sa restriction c : A ˜
G (F ) → A G (F ) ne les conserve pas. Notons m
la
mesure sur A G (F ) tel que c conserve localement les mesures et C la constante
telle que notre mesure sur A G (F ) soit Cm
. On obtient alors
mes(A ˜
G (F )\T
θ (F )) = C mes(Im(a))| Ker(a)|.
On a aussi
mes(A G (F )\T
(F )) = mes(Im(a))| Coker(a)|.
D’où
c ? ( ˜
G, G
) = C| Out(G
)|
−1 d(θ
∗ )
−1 k(δ)k(γ)
−1
| Ker(a)|| Coker(a)|
−1 .
Considérons le diagramme commutatif
1 → A ˜
G (F ) → T
θ (F ) → A ˜
G (F )\T
θ (F ) → 1
↓ c
↓ b
↓ a
1 → A G (F ) → T
(F ) → A G (F )\T
(F ) → 1 .