I.4. Stabilité et image du transfert
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Ses lignes horizontales sont exactes. On en déduit aisément l’égalité
| Ker(a)|| Coker(a)|
−1 = | Ker(c)|
−1
| Coker(c)|| Ker(b)|| Coker(b)|
−1 .
Montrons que
(6) C = | Ker(c)|| Coker(c)|
−1 .
On peut identifier A ˜
G (F ) à A ˜
G (F )
c
× Im(H A ˜
G
) et A G (F ) à A G (F )
c
×
Im(H A G ) de sorte que c se décompose conformément en produit de deux homomorphismes. Le second homomorphisme est la restriction à Im(H A ˜
G
) de l’isomorphisme de A ˜
G sur A G . D’après nos définitions, il préserve les mesures (il
s’agit des mesures de comptage dans le cas non-archimédien). Soit V un ouvert
compact de Im(H A ˜
G
), posons U = A ˜
G (F )
c
× V . Si les mesures se correspondaient localement, on aurait l’égalité mes(c(U )) = | Ker(c)|
−1 mes(U ). Puisque
ce n’est pas le cas, l’égalité correcte est mes(c(U )) = C| Ker(c)|
−1 mes(U ). On a
mes(U ) = mes(A ˜
G (F )
c ) mes(V ) et
mes(c(U )) = mes(c(A ˜
G (F )
c )) mes(c(V ))
= [A G (F )
c : c(A ˜
G (F )
c )]
−1 mes(A G (F )
c ) mes(V ).
On obtient
C = | Ker(c)|[A G (F )
c : c(A ˜
G (F )
c )]
−1 mes(A ˜
G (F )
c )
−1 mes(A G (F )
c ).
Les mesures sur les groupes compacts sont définies de sorte que
mes(A ˜
G (F )
c )
−1 mes(A G (F )
c ) = [Im(H A G ) : c(Im(H A ˜
G
))]
−1 .
On a aussi l’égalité
[Im(H A G ) : c(Im(H A ˜
G
))][A G (F )
c : c(A ˜
G (F )
c )] = | Coker(c)|.
Ces égalités conduisent à (6).
Posons V = (1 − θ)(T ). Considérons le diagramme commutatif
(7)
1
↓
V (F )
d
→ V (F )
↓
↓
1 → T
θ (F ) → T (F )
e
→ V (F )
↓f
T
θ (F )
b
→ T
(F )
où d et e sont toutes deux égales à 1 − θ. Les deuxièmes lignes horizontale et
verticale sont exactes. On a Ker(b) = T
θ (F ) ∩ V (F ) = Ker(d). On a aussi
| Coker(b)| = | Coker(f )||T (F )/(T
θ (F )V (F ))|,
|T (F )/(T
θ (F )V (F ))| = |e(T (F ))/d(V (F ))| = | Coker(d)|| Coker(e)|
−1 .