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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
D’où
| Ker(b)|| Coker(b)|
−1 = | Ker(d)|| Coker(d)|
−1
| Coker(e)|| Coker(f )|
−1 .
Considérons un tore D défini sur F et une isogénie ϕ : D → D. Notons ici
ϕ F : D(F ) → D(F ) l’homomorphisme qui s’en déduit entre groupes de points sur
F . Notons d l’algèbre de Lie de D. On a
(8)
| Ker(ϕ F )|| Coker(ϕ F )|
−1 = |X ∗ (D)
ΓF /ϕ(X ∗ (D)
ΓF )|
−1
| det(ϕ |d )| F
= | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗Q )|
−1
| det(ϕ |d )| F .
Preuve de (8). Puisque ϕ est injectif sur le Z-module libre X ∗ (D)
ΓF , on a l’égalité
|X ∗ (D)
ΓF /ϕ(X ∗ (D)
ΓF )| = | det(ϕ |X∗(D)
Γ F ⊗Q )|
et les deux derniers membres de (8) sont égaux.
Notons D(F )
c le plus grand sous-groupe compact de D(F ) et
X = D(F )
c
\D(F ).
On utilise le diagramme commutatif :
1 → D(F )
c
→ D(F ) →
X
→ 1
↓ ϕ
c
F
↓ ϕ F
↓ ϕ X
1 → D(F )
c
→ D(F ) →
X
→ 1 .
Ses lignes étant exactes, on a
| Ker(ϕ F )|| Coker(ϕ F )|
−1 = | Ker(ϕ
c
F )|| Coker(ϕ
c
F )|
−1
| Ker(ϕ X )|| Coker(ϕ X )|
−1 .
Munissons D(F )
c d’une mesure de Haar. On a
mes(D(F )
c ) = | Coker(ϕ
c
F )| mes(Im(ϕ
c
F )),
mes(Im(ϕ
c
F )) = j(ϕ
c
F ) mes(D(F )
c )| Ker(ϕ
c
F )|
−1 ,
où j(ϕ
c
F ) est le jacobien de ϕ
c
F . Si F est non-archimédien, ce jacobien est la valeur
absolue (au sens |.| F ) du déterminant de ϕ agissant sur l’algèbre de Lie de D(F )
c :
j(ϕ
c
F ) = | det(ϕ |d )| F . Si F est archimédien, le groupe D(F )
c est un groupe de Lie
réel et j(ϕ
c
F ) est la valeur absolue réelle du déterminant de ϕ agissant sur son
algèbre de Lie. Cette algèbre de Lie est d(F )/(X ∗ (D)
ΓF
⊗ R), d’où
j(ϕ
c
F ) = | det(ϕ |d )| F | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗R )|
−1 = | det(ϕ |d )| F | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗Q )|
−1 .
Si F est archimédien, X est un produit de groupes R
×
+ et ϕ X est bijectif. Si F
est non-archimédien, ϕ X est injectif et | Coker(ϕ X )| = | det(ϕ |X⊗Q )|. Fixons une
uniformisante F . L’application qui à x ∗ ∈ X ∗ (D)
ΓF associe l’image de x ∗ ( F )
dans X identifie X ∗ (D)
ΓF à un sous-groupe d’indice fini de X. Donc
| det(ϕ |X⊗Q )| = | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗Q )|.
En mettant ces calculs bout à bout, on obtient (8).
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
D’où
| Ker(b)|| Coker(b)|
−1 = | Ker(d)|| Coker(d)|
−1
| Coker(e)|| Coker(f )|
−1 .
Considérons un tore D défini sur F et une isogénie ϕ : D → D. Notons ici
ϕ F : D(F ) → D(F ) l’homomorphisme qui s’en déduit entre groupes de points sur
F . Notons d l’algèbre de Lie de D. On a
(8)
| Ker(ϕ F )|| Coker(ϕ F )|
−1 = |X ∗ (D)
ΓF /ϕ(X ∗ (D)
ΓF )|
−1
| det(ϕ |d )| F
= | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗Q )|
−1
| det(ϕ |d )| F .
Preuve de (8). Puisque ϕ est injectif sur le Z-module libre X ∗ (D)
ΓF , on a l’égalité
|X ∗ (D)
ΓF /ϕ(X ∗ (D)
ΓF )| = | det(ϕ |X∗(D)
Γ F ⊗Q )|
et les deux derniers membres de (8) sont égaux.
Notons D(F )
c le plus grand sous-groupe compact de D(F ) et
X = D(F )
c
\D(F ).
On utilise le diagramme commutatif :
1 → D(F )
c
→ D(F ) →
X
→ 1
↓ ϕ
c
F
↓ ϕ F
↓ ϕ X
1 → D(F )
c
→ D(F ) →
X
→ 1 .
Ses lignes étant exactes, on a
| Ker(ϕ F )|| Coker(ϕ F )|
−1 = | Ker(ϕ
c
F )|| Coker(ϕ
c
F )|
−1
| Ker(ϕ X )|| Coker(ϕ X )|
−1 .
Munissons D(F )
c d’une mesure de Haar. On a
mes(D(F )
c ) = | Coker(ϕ
c
F )| mes(Im(ϕ
c
F )),
mes(Im(ϕ
c
F )) = j(ϕ
c
F ) mes(D(F )
c )| Ker(ϕ
c
F )|
−1 ,
où j(ϕ
c
F ) est le jacobien de ϕ
c
F . Si F est non-archimédien, ce jacobien est la valeur
absolue (au sens |.| F ) du déterminant de ϕ agissant sur l’algèbre de Lie de D(F )
c :
j(ϕ
c
F ) = | det(ϕ |d )| F . Si F est archimédien, le groupe D(F )
c est un groupe de Lie
réel et j(ϕ
c
F ) est la valeur absolue réelle du déterminant de ϕ agissant sur son
algèbre de Lie. Cette algèbre de Lie est d(F )/(X ∗ (D)
ΓF
⊗ R), d’où
j(ϕ
c
F ) = | det(ϕ |d )| F | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗R )|
−1 = | det(ϕ |d )| F | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗Q )|
−1 .
Si F est archimédien, X est un produit de groupes R
×
+ et ϕ X est bijectif. Si F
est non-archimédien, ϕ X est injectif et | Coker(ϕ X )| = | det(ϕ |X⊗Q )|. Fixons une
uniformisante F . L’application qui à x ∗ ∈ X ∗ (D)
ΓF associe l’image de x ∗ ( F )
dans X identifie X ∗ (D)
ΓF à un sous-groupe d’indice fini de X. Donc
| det(ϕ |X⊗Q )| = | det(ϕ |X∗(D) Γ F ⊗Q )|.
En mettant ces calculs bout à bout, on obtient (8).