I.4. Stabilité et image du transfert
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On utilise (8) pour calculer
| Ker(d)|| Coker(d)|
−1 = | det((1 − θ) |X∗(V ) Γ F ⊗Q )|
−1
| det((1 − θ) |(1−θ)(t) )| F .
Le dernier terme n’est autre que d(θ
∗ ). En rassemblant les calculs précédents, on
obtient
(9)
c ? ( ˜
G, G
) = | Out(G
)|
−1
| det((1 − θ) |X∗(V ) Γ F ⊗Q )|
−1
k(δ)k(γ)
−1
| Coker(e)|| Coker(f )|
−1 .
On considère la suite
H
1 (Γ F ; T
θ )
g
→ H
1 (Γ F ; T )
i
→ H
1 (Γ F ; G).
Supposons F non archimédien. L’application qui à y ∈ Y(γ) (cf. 4.4) associe le
cocycle σ → yσ(y)
−1 se quotiente en une bijection de ˙
Y(γ) sur Ker(i ◦ g). Donc
k(γ) = | ˙
Y(γ)| = | Ker(i ◦ g)|.
De g se déduit une suite exacte
1 → Ker(g) → Ker(i ◦ g) → Im(g) ∩ Ker(i) → 1.
Il est bien connu que Ker(i) est égal à l’image de j : H
1 (Γ F ; T sc ) → H
1 (Γ F ; T ). La
suite horizontale centrale de (7) se prolonge en une suite exacte de cohomologie
(10)
T (F )
e
→ V (F ) → H
1 (Γ F ; T
θ )
g
→ H
1 (Γ F ; T )
k
→ H
1 (Γ F ; V ).
Donc Im(g) = Ker(k) puis
k(γ) = | Ker(g)|| Ker(k) ∩ Im(j)|.
Si F = R, parce que l’on travaille avec un K-espace, ˙
Y(γ) s’identifie avec le sousensemble des éléments de H
1 (Γ R ; T
θ ) dont l’image par i ◦ g appartient à l’image de
l’application H
1 (Γ R ; G SC ) → H
1 (Γ R ; G). La suite du calcul s’adapte et on obtient
la même formule que ci-dessus. Revenons à F quelconque. Considérons la suite
H
1 (Γ F ; T sc )
j
→ H
1 (Γ F ; T )
k
→ H
1 (Γ F ; V ).
Il s’en déduit une suite exacte
1 → Ker(j) → Ker(k ◦ j) → Ker(k) ∩ Im(j) → 1.
D’où | Ker(k) ∩ Im(j)| = | Ker(k ◦ j)|| Ker(j)|
−1 puis
k(γ) = | Ker(g)|| Ker(k ◦ j)|| Ker(j)|
−1 .