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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
En utilisant la suite (10), on a
| Coker(e)| = | Ker(g)|.
La suite centrale verticale de (7) se prolonge elle-aussi en une suite exacte de
cohomologie
T (F )
f
→ T
(F ) → H
1 (Γ F ; V )
l
→ H
1 (Γ F ; T ).
D’où
| Coker(f )| = | Ker(l)|.
On obtient
(11)
k(γ)
−1
| Coker(e)|| Coker(f )|
−1 = | Ker(k ◦ j)|
−1
| Ker(j)|| Ker(l)|
−1 ,
où on rappelle
j : H
1 (Γ F ; T sc ) → H
1 (Γ F ; T ),
k ◦ j : H
1 (Γ F , T sc ) → H
1 (Γ F ; V ),
l : H
1 (Γ F ; V ) → H
1 (Γ F ; T ).
Tous ces groupes sont finis. On utilise l’égalité
| Ker(j)||H
1 (Γ F ; T )| = | Coker(j)||H
1 (Γ F ; T sc )|
et les égalités analogues pour k ◦ j et l. On voit alors que, dans le membre de droite
de (11), on peut remplacer les noyaux par les conoyaux.
Le terme k(δ) se calcule comme k(γ), le calcul étant beaucoup plus simple
puisque la torsion est intérieure. On a k(δ) = | Im(m)|, où
m : H
1 (Γ F ; T
sc ) → H
1 (Γ F ; T
).
On obtient
k(δ)k(γ)
−1
| Coker(e)|| Coker(f )|
−1
= | Im(m)|| Coker(k ◦ j)|
−1
| Coker(j)|| Coker(l)|
−1 .
On utilise maintenant la dualité.
Par exemple π 0 ( ˆ
T
ΓF ) est le dual de H
1 (Γ F ; T ). On voit que | Coker(j)| =
| Ker( ˆ j)|, où ˆ j : π 0 ( ˆ
T
ΓF ) → π 0 ( ˆ
T
ΓF
ad ) est dual de j. On calcule de même | Coker(k ◦
j)| et | Coker(l)|. On a aussi | Im(m)| = | Im( ˆ
m)| et la formule ci-dessus se transcrit en
(12)
k(δ)k(γ)
−1
| Coker(e)|| Coker(f )|
−1
= | Im( ˆ
m)|| Ker( ˆ j ◦ ˆ
k)|
−1
| Ker( ˆ j)|| Ker( ˆ l)|
−1 .
Rappelons que ˆ
T
= ˆ
T
ˆ
θ,0 . On a une suite exacte
π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF ) → π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0,ΓF )
ˆ
m
→ π 0 (( ˆ
T
ˆ
θ,0 /Z( ˆ
G
))
ΓF ).