I.4. Stabilité et image du transfert
117
La donnée G
est elliptique et T
est un tore elliptique. Donc Z( ˆ
G
)
ΓF ,0 =
ˆ
T
ˆ
θ,ΓF ,0 = Z( ˆ
G)
ˆ
θ,ΓF ,0 . La première flèche ci-dessus est injective, d’où
(13)
| Im( ˆ
m)| = |π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0,ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1 .
Rappelons que ˆ
V = ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 . On a une suite exacte
π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0,ΓF )
ˆ
n
→ π 0 ( ˆ
T
ΓF )
ˆ l
→ π 0 ( ˆ
V
ΓF ).
Ici, la première flèche n’est pas injective. Son noyau est ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ ˆ
T
ΓF ,0 )/ ˆ
T
ˆ
θ, ˆ
ΓF ,0 =
π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ ˆ
T
ΓF ,0 ). D’où
(14)
| Ker( ˆ l)| = | Coker(ˆ n)| = |π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0,ΓF )||π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ ˆ
T
ΓF ,0 )|
−1 .
De même, on a une suite exacte
π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ) → π 0 ( ˆ
T
ΓF )
ˆ j
→ π 0 ( ˆ
T
ΓF
ad ).
Le noyau de la première flèche est π 0 (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 ) et on obtient
(15)
| Ker( ˆ j)| = |π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||π 0 (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 )|
−1 .
On a le diagramme commutatif
ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0
/ /
$ $
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ˆ
T ad
ˆ
T ad / ˆ
T
ˆ
θ
ad
1− ˆ
θ
< <
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d’où la factorisation
π 0 (( ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )
ˆ j◦ ˆ
k
/ /
( (
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
π 0 ( ˆ
T
ΓF
ad )
π 0 (( ˆ
T ad / ˆ
T
ˆ
θ
ad )
ΓF ).
1− ˆ
θ
7 7
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Puisque ˜
T est elliptique, on a X ∗ ( ˆ
T ad )
ΓF , ˆ
θ = 0. Donc X ∗ ( ˆ
T ad )
ΓF
⊗ Q = (1 −
ˆ
θ)(X ∗ ( ˆ
T ad )
ΓF )⊗Q puis ˆ
T
ΓF ,0
ad
= (1− ˆ
θ)( ˆ
T
ΓF ,0
ad
). Il en résulte que l’homomorphisme
1 − ˆ
θ : π 0 (( ˆ
T ad / ˆ
T
ˆ
θ
ad )
ΓF ) → π 0 ( ˆ
T
ΓF
ad )
est injectif. Le noyau de ˆ j ◦ ˆ
k est donc égal à celui de l’homomorphisme
π 0 (( ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF ) → π 0 (( ˆ
T ad / ˆ
T
ˆ
θ
ad )
ΓF ).