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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Ce dernier se complète en la suite exacte
π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF )
ˆ
p
→ π 0 (( ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 )
ΓF ) → π 0 (( ˆ
T ad / ˆ
T
ˆ
θ
ad )
ΓF ).
D’où :
(16)
| Ker( ˆ j ◦ ˆ
k)| = |π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ))
ΓF )|| Ker(ˆ p)|
−1 .
On calcule
Ker(ˆ p) = (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 ˆ
T
ˆ
θ,0 )/(Z( ˆ
G)
ΓF ,0 (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )).
La suite suivante est exacte :
1 → ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ ˆ
T
ΓF ,0 )/(Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )
→ ((Z( ˆ
G) ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 )/Z( ˆ
G)
ΓF ,0
→ Ker(ˆ p) → 1
Le premier terme de cette suite a pour nombre d’éléments
|π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ ˆ
T
ΓF ,0 )||π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )|
−1 .
Le deuxième terme s’insère dans la suite exacte
1 → (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 )/Z( ˆ
G)
ΓF ,0
→ ((Z( ˆ
G) ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 )/Z( ˆ
G)
ΓF ,0
→ ((Z( ˆ
G) ˆ
T
ˆ
θ,0 ) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 )/(Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 ) → 1.
Le premier terme de cette suite n’est autre que π 0 (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 ). On voit que le
second n’est autre que ˆ
T
ΓF ,0, ˆ
θ
ad
. Ce dernier groupe est fini puisque ˜
T est elliptique.
A ce point, on obtient
(17)
| Ker(ˆ p)| = |π 0 ( ˆ
T
ˆ
θ,0
∩ ˆ
T
ΓF ,0 )|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )||π 0 (Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
ΓF ,0 )|| ˆ
T
ΓF ,0, ˆ
θ
ad
|.
Puisque l’endomorphisme 1 − ˆ
θ de ˆ
T
ΓF ,0
ad
est une isogénie, son noyau ˆ
T
ΓF ,0, ˆ
θ
ad
a
pour nombre d’éléments la valeur absolue du déterminant de 1 − ˆ
θ agissant sur
X ∗ ( ˆ
T ad )
ΓF
⊗ Q. Par dualité, c’est aussi la valeur absolue du déterminant de 1 − θ
agissant sur X ∗ (T sc )
ΓF
⊗ Q. On utilise les égalités
X ∗ (V )
ΓF
⊗ Q = (1 − θ)(X ∗ (T )
ΓF ) ⊗ Q
=
(1 − θ)(X ∗ (T sc )
ΓF ) ⊗ Q
⊕
(1 − θ)(X ∗ (Z(G)
0 )
ΓF ) ⊗ Q
.
On a (1 − θ)(X ∗ (T sc )
ΓF ) ⊗ Q = X ∗ (T sc )
ΓF
⊗ Q toujours parce que ˜
T est elliptique.
D’où
| ˆ
T
ΓF ,0, ˆ
θ
ad
| = | det((1 − θ) |X∗(V )
Γ F ⊗Q )|| det((1 − θ) |(1−θ)(X∗(Z(G) 0 )
Γ F )⊗Q )|
−1 .