I.5. Distributions «géométriques»
119
Pour calculer ce dernier déterminant, on peut remplacer (1−θ)(X ∗ (Z(G)
0 )
ΓF )⊗Q
par (1 − θ)(X ∗ (Z(G)
0 )
ΓF ) ⊗ R. Cet espace est isomorphe à A G /A ˜
G . On obtient
alors
(18)
| ˆ
T
ΓF ,0, ˆ
θ
ad
| = | det((1 − θ) |X∗(V )
Γ F ⊗Q )|| det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 .
Rassemblons les formules (9) et (12), (13),. . . ,(18). On obtient
c ? ( ˜
G, G
) = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
|
| Out(G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ T
ˆ
θ,0 )||π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ T
ˆ
θ,0 ))
ΓF )|
−1 .
On a l’égalité Z( ˆ
G) ∩ T
ˆ
θ,0 = Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
. La formule ci-dessus est alors celle qui
définit c( ˜
G, G
). Cela démontre l’égalité (5), ce qui achève la preuve.
I.5 Distributions «géométriques»
I.5.1 Distributions «géométriques» dans le cas non-archimédien
On suppose F non archimédien. On note D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui se factorisent en une forme linéaire sur I( ˜
G(F ), ω) et
qui sont supportées par une réunion finie de classes de conjugaison par G(F ). On a
déjà construit de telles formes linéaires en 2.4 : l’intégrale orbitale f → I
˜
G (γ, ω, f )
associée à un élément γ ∈ ˜
G(F ) et aux choix de mesures sur G(F ) et G γ (F ).
On se débarrasse du choix de la mesure sur G(F ) en considérant cette forme linéaire comme définie sur C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On obtient donc un élément
de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . Il est commode de noter tout élément de cet
espace comme une intégrale orbitale. C’est-à-dire que, pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on notera I
˜
G (γ, f ) la valeur de γ sur
f . On utilisera différentes variantes de cette notation (pour les intégrales orbitales
stables par exemple).
Si O est une réunion finie de classes de conjugaison (par G(F )) semi-simples,
on note D g´ eom (O, ω) le sous-espace de ces distributions à support dans {γ ∈
˜
G; γ ss ∈ O}, où γ ss est la partie semi-simple de γ. Notons qu’un tel sous-espace
peut être nul, à cause du caractère ω. Plus concrètement, notons I( ˜
G(F ), ω) O,0 le
sous-espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) pour lesquels il existe un voisinage ˜
V de O invariant par conjugaison par G(F ) tel que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
V ∩ ˜
G reg (F ).
Posons I( ˜
G(F ), ω) O,loc = I( ˜
G(F ), ω)/I( ˜
G(F ), ω) O,0 . La projection naturelle
C
∞
c ( ˜
G(F )) → I( ˜
G(F ), ω) O,loc
est surjective et on a
(1) D g´ eom (O, ω) est l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui se factorisent
par cette projection.
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Pour calculer ce dernier déterminant, on peut remplacer (1−θ)(X ∗ (Z(G)
0 )
ΓF )⊗Q
par (1 − θ)(X ∗ (Z(G)
0 )
ΓF ) ⊗ R. Cet espace est isomorphe à A G /A ˜
G . On obtient
alors
(18)
| ˆ
T
ΓF ,0, ˆ
θ
ad
| = | det((1 − θ) |X∗(V )
Γ F ⊗Q )|| det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1 .
Rassemblons les formules (9) et (12), (13),. . . ,(18). On obtient
c ? ( ˜
G, G
) = | det((1 − θ) |AG/A ˜
G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF )||Z( ˆ
G
)
ΓF )|
−1
|
| Out(G
)|
−1
|π 0 (Z( ˆ
G)
ΓF ,0
∩ T
ˆ
θ,0 )||π 0 ((Z( ˆ
G)/(Z( ˆ
G) ∩ T
ˆ
θ,0 ))
ΓF )|
−1 .
On a l’égalité Z( ˆ
G) ∩ T
ˆ
θ,0 = Z( ˆ
G) ∩ ˆ
G
. La formule ci-dessus est alors celle qui
définit c( ˜
G, G
). Cela démontre l’égalité (5), ce qui achève la preuve.
I.5 Distributions «géométriques»
I.5.1 Distributions «géométriques» dans le cas non-archimédien
On suppose F non archimédien. On note D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui se factorisent en une forme linéaire sur I( ˜
G(F ), ω) et
qui sont supportées par une réunion finie de classes de conjugaison par G(F ). On a
déjà construit de telles formes linéaires en 2.4 : l’intégrale orbitale f → I
˜
G (γ, ω, f )
associée à un élément γ ∈ ˜
G(F ) et aux choix de mesures sur G(F ) et G γ (F ).
On se débarrasse du choix de la mesure sur G(F ) en considérant cette forme linéaire comme définie sur C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On obtient donc un élément
de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . Il est commode de noter tout élément de cet
espace comme une intégrale orbitale. C’est-à-dire que, pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on notera I
˜
G (γ, f ) la valeur de γ sur
f . On utilisera différentes variantes de cette notation (pour les intégrales orbitales
stables par exemple).
Si O est une réunion finie de classes de conjugaison (par G(F )) semi-simples,
on note D g´ eom (O, ω) le sous-espace de ces distributions à support dans {γ ∈
˜
G; γ ss ∈ O}, où γ ss est la partie semi-simple de γ. Notons qu’un tel sous-espace
peut être nul, à cause du caractère ω. Plus concrètement, notons I( ˜
G(F ), ω) O,0 le
sous-espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) pour lesquels il existe un voisinage ˜
V de O invariant par conjugaison par G(F ) tel que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
V ∩ ˜
G reg (F ).
Posons I( ˜
G(F ), ω) O,loc = I( ˜
G(F ), ω)/I( ˜
G(F ), ω) O,0 . La projection naturelle
C
∞
c ( ˜
G(F )) → I( ˜
G(F ), ω) O,loc
est surjective et on a
(1) D g´ eom (O, ω) est l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui se factorisent
par cette projection.