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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Notons C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 le sous-espace des éléments C
∞
c ( ˜
G(F )) dont le
support ne contient pas d’élément de partie semi-simple dans O. Par définition,
D g´ eom (O, ω) est l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui annulent
C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 et qui se factorisent par I( ˜
G(F ), ω). Il suffit donc de prouver que
l’image de C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 dans I( ˜
G(F ), ω) est égale à I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Il est clair
que cette image est contenue dans I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Inversement, soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))
dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) appartienne à ce sous-espace. On choisit un voisinage ˜
V de O invariant par conjugaison tel que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈
˜
V ∩ ˜
G reg (F ). On peut supposer ˜
V ouvert et fermé. Notons 1 ˜
V sa fonction caractéristique. On a f = f 1 ˜
V + f (1 − 1 ˜
V ). Toutes les intégrales orbitales fortement régulières de la fonction f 1 ˜
V sont nulles. Cela entraîne que l’image de cette
fonction dans I( ˜
G(F ), ω) est nulle. La deuxième fonction f (1 − 1 ˜
V ) appartient à
C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 .
D’après (1), D g´ eom (O, ω) s’identifie au dual de I( ˜
G(F ), ω) O,loc .Il est bien
connu que tout élément de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est combinaison linéaire d’intégrales
orbitales. Cela entraîne que D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est la somme directe de ses sousespaces D g´ eom (O, ω) quand O décrit les classes de conjugaison semi-simples.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Dualement à l’application
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
f
→
f ˜
M,ω ,
on a un homomorphisme d’induction
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗
γ
→
γ
˜
G
.
Soit O une classe de conjugaison semi-simple contenant un élément γ tel que
γ ∈ ˜
M (F ) et G γ ⊂ M . Alors D g´ eom (O, ω) est contenu dans l’image de cet homomorphisme d’induction.
I.5.2 Distributions «géométriques» dans le cas archimédien
On suppose F = R ou C. On munit C
∞
c ( ˜
G(F )) d’une topologie de la façon suivante.
Notons U(G) l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G. Cette algèbre agit sur
C
∞
c ( ˜
G(F )) de deux façons : via les translations à gauche ou à droite. Considérons
par exemple l’action via les translations à gauche. Pour Y ∈ U(G), on définit la
semi-norme ν Y sur C
∞
c ( ˜
G(F )) par ν Y (f ) = sup{|(Y f)(γ)|; γ ∈ ˜
G(F )}. Soit ˜
H
un sous-ensemble compact de ˜
G(F ). Notons C
∞
c ( ˜
H) le sous-espace des éléments
de C
∞
c ( ˜
G(F )) à support dans ˜
H. On munit ce sous-espace de la topologie définie
par les semi-normes ν Y pour Y ∈ U(G). L’espace C
∞
c ( ˜
G(F )) est limite inductive
des C
∞
c ( ˜
H) quand ˜
H décrit les sous-ensembles compacts de ˜
G(F ) et on le munit
de la topologie limite inductive des topologies sur ces sous-espaces. On appelle
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Notons C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 le sous-espace des éléments C
∞
c ( ˜
G(F )) dont le
support ne contient pas d’élément de partie semi-simple dans O. Par définition,
D g´ eom (O, ω) est l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui annulent
C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 et qui se factorisent par I( ˜
G(F ), ω). Il suffit donc de prouver que
l’image de C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 dans I( ˜
G(F ), ω) est égale à I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Il est clair
que cette image est contenue dans I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Inversement, soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))
dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) appartienne à ce sous-espace. On choisit un voisinage ˜
V de O invariant par conjugaison tel que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈
˜
V ∩ ˜
G reg (F ). On peut supposer ˜
V ouvert et fermé. Notons 1 ˜
V sa fonction caractéristique. On a f = f 1 ˜
V + f (1 − 1 ˜
V ). Toutes les intégrales orbitales fortement régulières de la fonction f 1 ˜
V sont nulles. Cela entraîne que l’image de cette
fonction dans I( ˜
G(F ), ω) est nulle. La deuxième fonction f (1 − 1 ˜
V ) appartient à
C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 .
D’après (1), D g´ eom (O, ω) s’identifie au dual de I( ˜
G(F ), ω) O,loc .Il est bien
connu que tout élément de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est combinaison linéaire d’intégrales
orbitales. Cela entraîne que D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est la somme directe de ses sousespaces D g´ eom (O, ω) quand O décrit les classes de conjugaison semi-simples.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Dualement à l’application
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) → I( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
f
→
f ˜
M,ω ,
on a un homomorphisme d’induction
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗
γ
→
γ
˜
G
.
Soit O une classe de conjugaison semi-simple contenant un élément γ tel que
γ ∈ ˜
M (F ) et G γ ⊂ M . Alors D g´ eom (O, ω) est contenu dans l’image de cet homomorphisme d’induction.
I.5.2 Distributions «géométriques» dans le cas archimédien
On suppose F = R ou C. On munit C
∞
c ( ˜
G(F )) d’une topologie de la façon suivante.
Notons U(G) l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G. Cette algèbre agit sur
C
∞
c ( ˜
G(F )) de deux façons : via les translations à gauche ou à droite. Considérons
par exemple l’action via les translations à gauche. Pour Y ∈ U(G), on définit la
semi-norme ν Y sur C
∞
c ( ˜
G(F )) par ν Y (f ) = sup{|(Y f)(γ)|; γ ∈ ˜
G(F )}. Soit ˜
H
un sous-ensemble compact de ˜
G(F ). Notons C
∞
c ( ˜
H) le sous-espace des éléments
de C
∞
c ( ˜
G(F )) à support dans ˜
H. On munit ce sous-espace de la topologie définie
par les semi-normes ν Y pour Y ∈ U(G). L’espace C
∞
c ( ˜
G(F )) est limite inductive
des C
∞
c ( ˜
H) quand ˜
H décrit les sous-ensembles compacts de ˜
G(F ) et on le munit
de la topologie limite inductive des topologies sur ces sous-espaces. On appelle