I.5. Distributions «géométriques»
121
distribution sur ˜
G(F ) une forme linéaire continue sur C
∞
c ( ˜
G(F )). Une distribution
ω-équivariante est une distribution qui se factorise par I( ˜
G(F ), ω). En imitant
Bouaziz, on munit l’espace I( ˜
G(F ), ω) d’une topologie de la façon suivante. Fixons
un ensemble ˜
T de représentants des classes de conjugaison par G(F ) de tores
tordus maximaux ˜
T tels que ω soit trivial sur T
θ (F ). Un tel ensemble est fini. En
fixant des mesures sur G(F ) et sur T (F ) pour tout ˜
T ∈ ˜
T , on peut considérer
I( ˜
G(F ), ω) comme un espace de familles ϕ ˜
T = (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T où ϕ ˜
T est une fonction
C
∞ sur ˜
T (F )∩ ˜
G reg (F ) (l’intégrale orbitale sur ˜
T (F )). Dans la suite, on considérera
I( ˜
G(F ), ω) soit comme un quotient de C
∞
c ( ˜
G(F )) (ses éléments seront alors notés
f ), soit comme un espace de telles familles (ses éléments seront alors notés ϕ ˜
T ).
On pose U ˜
T =
˜
T ∈ ˜
T U(T ). Pour une famille Y ˜
T = (Y ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ∈ U ˜
T , on définit la
semi-norme
ν Y ˜
T
(ϕ ˜
T ) = sup
|(Y ˜
T ϕ ˜
T )(γ)|; γ ∈ ˜
T (F ) ∩ ˜
G reg (F ), ˜
T ∈ ˜
T
.
Elle est bien définie c’est-à-dire que ce sup est fini pour les éléments de I( ˜
G(F )).
C’est un résultat profond d’Harish-Chandra (sa généralisation au cas tordu par
descente est immédiate). Soit ˜
H ˜
T = ( ˜
H ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T une famille telle que pour tout ˜
T ,
˜
H ˜
T est un sous-ensemble compact de ˜
T (F ). On note I( ˜
H ˜
T , ω) le sous-espace des
éléments ϕ ˜
T = (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ∈ I( ˜
G(F ), ω) tels que pour tout ˜
T , ϕ ˜
T est à support
dans ˜
H ˜
T . On munit ce sous-espace de la topologie définie par les semi-normes ν Y ˜
T
pour Y ˜
T ∈ U ˜
T . Cela le munit d’une topologie d’espace de Fréchet, c’est-à-dire que
I( ˜
H ˜
T , ω) est complet : les conditions de saut qui définissent l’espace des intégrales
orbitales sont des conditions fermées. On munit I( ˜
G(F ), ω) de la topologie limite
inductive de celle sur les sous-espaces I( ˜
H ˜
T , ω). On a
(1) l’homomorphisme C
∞
c ( ˜
G(F )) → I( ˜
G(F ), ω) est une surjection continue et
ouverte.
Cf. [69] théorème 9.4 et [28] remarque (1) p. 177. Renard suppose ω = 1
mais, ici encore, la preuve se généralise au cas ω quelconque.
D’après (1), l’espace des distributions ω-équivariantes s’identifie à celui des
formes linéaires continues sur I( ˜
G(F ), ω). On note D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) l’espace des
distributions ω-équivariantes qui sont supportées par un nombre fini de classes
de conjugaison par G(F ). Concrètement, considérons un tore tordu ˜
T ∈ ˜
T et un
élément η ∈ ˜
T (F ). Fixons une composante connexe Ω de t
θ (F ) ∩ g η,reg (F ) et un
opérateur différentiel D sur t
θ (F ) à coefficients constants. Pour ϕ ˜
T = (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ∈
I( ˜
G(F ), ω), la fonction X → Dϕ ˜
T (exp(X)η) est C
∞ sur Ω et a une limite quand
X tend vers 0 dans Ω. Notons γ η, ˜
T ,Ω,D (ϕ ˜
T ) cette limite. La forme linéaire γ η, ˜
T ,Ω,D
ainsi construite appartient à D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) et cet espace est engendré linéairement par de telles formes linéaires.
Si O est une réunion finie de classes de conjugaison (par G(F )) semi-simples,
on définit le sous-espace D g´ eom (O, ω) comme dans le cas non-archimédien. Notons
I( ˜
G(F ), ω) O,0 le sous-espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) pour lesquels il existe un voisinage
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distribution sur ˜
G(F ) une forme linéaire continue sur C
∞
c ( ˜
G(F )). Une distribution
ω-équivariante est une distribution qui se factorise par I( ˜
G(F ), ω). En imitant
Bouaziz, on munit l’espace I( ˜
G(F ), ω) d’une topologie de la façon suivante. Fixons
un ensemble ˜
T de représentants des classes de conjugaison par G(F ) de tores
tordus maximaux ˜
T tels que ω soit trivial sur T
θ (F ). Un tel ensemble est fini. En
fixant des mesures sur G(F ) et sur T (F ) pour tout ˜
T ∈ ˜
T , on peut considérer
I( ˜
G(F ), ω) comme un espace de familles ϕ ˜
T = (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T où ϕ ˜
T est une fonction
C
∞ sur ˜
T (F )∩ ˜
G reg (F ) (l’intégrale orbitale sur ˜
T (F )). Dans la suite, on considérera
I( ˜
G(F ), ω) soit comme un quotient de C
∞
c ( ˜
G(F )) (ses éléments seront alors notés
f ), soit comme un espace de telles familles (ses éléments seront alors notés ϕ ˜
T ).
On pose U ˜
T =
˜
T ∈ ˜
T U(T ). Pour une famille Y ˜
T = (Y ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ∈ U ˜
T , on définit la
semi-norme
ν Y ˜
T
(ϕ ˜
T ) = sup
|(Y ˜
T ϕ ˜
T )(γ)|; γ ∈ ˜
T (F ) ∩ ˜
G reg (F ), ˜
T ∈ ˜
T
.
Elle est bien définie c’est-à-dire que ce sup est fini pour les éléments de I( ˜
G(F )).
C’est un résultat profond d’Harish-Chandra (sa généralisation au cas tordu par
descente est immédiate). Soit ˜
H ˜
T = ( ˜
H ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T une famille telle que pour tout ˜
T ,
˜
H ˜
T est un sous-ensemble compact de ˜
T (F ). On note I( ˜
H ˜
T , ω) le sous-espace des
éléments ϕ ˜
T = (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ∈ I( ˜
G(F ), ω) tels que pour tout ˜
T , ϕ ˜
T est à support
dans ˜
H ˜
T . On munit ce sous-espace de la topologie définie par les semi-normes ν Y ˜
T
pour Y ˜
T ∈ U ˜
T . Cela le munit d’une topologie d’espace de Fréchet, c’est-à-dire que
I( ˜
H ˜
T , ω) est complet : les conditions de saut qui définissent l’espace des intégrales
orbitales sont des conditions fermées. On munit I( ˜
G(F ), ω) de la topologie limite
inductive de celle sur les sous-espaces I( ˜
H ˜
T , ω). On a
(1) l’homomorphisme C
∞
c ( ˜
G(F )) → I( ˜
G(F ), ω) est une surjection continue et
ouverte.
Cf. [69] théorème 9.4 et [28] remarque (1) p. 177. Renard suppose ω = 1
mais, ici encore, la preuve se généralise au cas ω quelconque.
D’après (1), l’espace des distributions ω-équivariantes s’identifie à celui des
formes linéaires continues sur I( ˜
G(F ), ω). On note D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) l’espace des
distributions ω-équivariantes qui sont supportées par un nombre fini de classes
de conjugaison par G(F ). Concrètement, considérons un tore tordu ˜
T ∈ ˜
T et un
élément η ∈ ˜
T (F ). Fixons une composante connexe Ω de t
θ (F ) ∩ g η,reg (F ) et un
opérateur différentiel D sur t
θ (F ) à coefficients constants. Pour ϕ ˜
T = (ϕ ˜
T ) ˜
T ∈ ˜
T ∈
I( ˜
G(F ), ω), la fonction X → Dϕ ˜
T (exp(X)η) est C
∞ sur Ω et a une limite quand
X tend vers 0 dans Ω. Notons γ η, ˜
T ,Ω,D (ϕ ˜
T ) cette limite. La forme linéaire γ η, ˜
T ,Ω,D
ainsi construite appartient à D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) et cet espace est engendré linéairement par de telles formes linéaires.
Si O est une réunion finie de classes de conjugaison (par G(F )) semi-simples,
on définit le sous-espace D g´ eom (O, ω) comme dans le cas non-archimédien. Notons
I( ˜
G(F ), ω) O,0 le sous-espace des f ∈ I( ˜
G(F ), ω) pour lesquels il existe un voisinage