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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
˜
V de O invariant par conjugaison par G(F ) tel que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈
˜
V ∩ ˜
G reg (F ). Notons CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 sa clôture dans I( ˜
G(F )). C’est le sous-espace
des ϕ ˜
T ∈ I( ˜
G(F ), ω) vérifiant la condition suivante. Soient ˜
T ∈ ˜
T , η ∈ ˜
T (F ) ∩ O
et Y ∈ U(T ). Alors la fonction Y ϕ ˜
T bien définie sur ˜
T (F ) ∩ ˜
G reg (F ) a une limite
nulle en η. On pose I( ˜
G(F ), ω) O,loc = I( ˜
G(F ), ω)/CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 et on munit
cet espace de la topologie quotient. Il y a un homomorphisme surjectif, continu et
ouvert
C
∞
c ( ˜
G(F )) → I( ˜
G(F ), ω) O,loc .
On a
(2) D g´ eom (O, ω) est l’image par l’homomorphisme dual de l’espace des formes
linéaires continues sur I( ˜
G(F ), ω) O,loc .
Preuve. On note C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 le sous-espace des f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) dont le support
ne contient pas d’élément de partie semi-simple dans O. Son image dans I( ˜
G(F ), ω)
est évidemment contenue dans I( ˜
G(F ), ω) O,0 . En fait, cette image est égale à
I( ˜
G(F ), ω) O,0 . La preuve est essentiellement la même que celle de 5.1(1). Il suffit
d’y remplacer la fonction 1 ˜
V par une fonction C
∞ , invariante par conjugaison,
à support dans ˜
V et valant 1 au voisinage des éléments de partie semi-simple
dans O. D’après (1) et la définition, D g´ eom (O, ω) est l’espace des formes linéaires
continues sur I( ˜
G(F ), ω) qui annulent l’image de C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 . Autrement dit
qui annulent I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Puisqu’il s’agit de formes continues, cela équivaut à
annuler CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 ou encore à se factoriser en une forme linéaire continue
sur I( ˜
G(F ), ω) O,loc .
Remarquons que si ˜
M est un espace de Levi de ˜
G, l’homomorphisme
f → f ˜
M,ω de I( ˜
G(F ), ω) dans I( ˜
M (F ), ω) se descend en un homomorphisme
de I( ˜
G(F ), ω) O,loc dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc où O ˜
M = ˜
M (F ) ∩ O. Il y a deux façons naturelles de définir un sous-espace I cusp ( ˜
G(F ), ω) O,loc ⊂ I( ˜
G(F ), ω) O,loc :
soit comme image par localisation de I cusp ( ˜
G(F ), ω), soit comme le sous-espace de
I( ˜
G(F ), ω) O,loc annulé par les homomorphismes f → f ˜
M,ω pour tout ˜
M propre.
On a
(3) ces deux définitions coïncident.
Preuve. Supposons F = R. La première définition donne évidemment un sousespace de l’espace défini par la seconde. Soit ϕ ˜
T ∈ I( ˜
G(R), ω) un élément dont
l’image par localisation appartient à ce dernier espace. Fixons un élément elliptique
˜
T ∈ ˜
T et un élément η ∈ ˜
T (R) ∩ O. Comme en 4.13(3), considérons la fonction
(4)
X → Δ η (X)ϕ ˜
T (exp(X)η)
au voisinage de 0 dans t
θ (R) ∩ g η,reg (R). Soit Ω une composante connexe de cet
ensemble, contenant η dans son adhérence. La fonction ci-dessus est C
∞ sur Ω
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
˜
V de O invariant par conjugaison par G(F ) tel que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ ∈
˜
V ∩ ˜
G reg (F ). Notons CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 sa clôture dans I( ˜
G(F )). C’est le sous-espace
des ϕ ˜
T ∈ I( ˜
G(F ), ω) vérifiant la condition suivante. Soient ˜
T ∈ ˜
T , η ∈ ˜
T (F ) ∩ O
et Y ∈ U(T ). Alors la fonction Y ϕ ˜
T bien définie sur ˜
T (F ) ∩ ˜
G reg (F ) a une limite
nulle en η. On pose I( ˜
G(F ), ω) O,loc = I( ˜
G(F ), ω)/CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 et on munit
cet espace de la topologie quotient. Il y a un homomorphisme surjectif, continu et
ouvert
C
∞
c ( ˜
G(F )) → I( ˜
G(F ), ω) O,loc .
On a
(2) D g´ eom (O, ω) est l’image par l’homomorphisme dual de l’espace des formes
linéaires continues sur I( ˜
G(F ), ω) O,loc .
Preuve. On note C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 le sous-espace des f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) dont le support
ne contient pas d’élément de partie semi-simple dans O. Son image dans I( ˜
G(F ), ω)
est évidemment contenue dans I( ˜
G(F ), ω) O,0 . En fait, cette image est égale à
I( ˜
G(F ), ω) O,0 . La preuve est essentiellement la même que celle de 5.1(1). Il suffit
d’y remplacer la fonction 1 ˜
V par une fonction C
∞ , invariante par conjugaison,
à support dans ˜
V et valant 1 au voisinage des éléments de partie semi-simple
dans O. D’après (1) et la définition, D g´ eom (O, ω) est l’espace des formes linéaires
continues sur I( ˜
G(F ), ω) qui annulent l’image de C
∞
c ( ˜
G(F )) O,0 . Autrement dit
qui annulent I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Puisqu’il s’agit de formes continues, cela équivaut à
annuler CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 ou encore à se factoriser en une forme linéaire continue
sur I( ˜
G(F ), ω) O,loc .
Remarquons que si ˜
M est un espace de Levi de ˜
G, l’homomorphisme
f → f ˜
M,ω de I( ˜
G(F ), ω) dans I( ˜
M (F ), ω) se descend en un homomorphisme
de I( ˜
G(F ), ω) O,loc dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc où O ˜
M = ˜
M (F ) ∩ O. Il y a deux façons naturelles de définir un sous-espace I cusp ( ˜
G(F ), ω) O,loc ⊂ I( ˜
G(F ), ω) O,loc :
soit comme image par localisation de I cusp ( ˜
G(F ), ω), soit comme le sous-espace de
I( ˜
G(F ), ω) O,loc annulé par les homomorphismes f → f ˜
M,ω pour tout ˜
M propre.
On a
(3) ces deux définitions coïncident.
Preuve. Supposons F = R. La première définition donne évidemment un sousespace de l’espace défini par la seconde. Soit ϕ ˜
T ∈ I( ˜
G(R), ω) un élément dont
l’image par localisation appartient à ce dernier espace. Fixons un élément elliptique
˜
T ∈ ˜
T et un élément η ∈ ˜
T (R) ∩ O. Comme en 4.13(3), considérons la fonction
(4)
X → Δ η (X)ϕ ˜
T (exp(X)η)
au voisinage de 0 dans t
θ (R) ∩ g η,reg (R). Soit Ω une composante connexe de cet
ensemble, contenant η dans son adhérence. La fonction ci-dessus est C
∞ sur Ω