I.5. Distributions «géométriques»
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et on sait qu’elle se prolonge en une fonction C
∞ dans un voisinage de Ω (cf.
[29] remarque 3.2). Notons φ ˜
T ,Ω un tel prolongement. L’hypothèse de cuspidalité
sur ϕ ˜
T implique que le développement infinitésimal au voisinage de η de φ ˜
T ,Ω ne
dépend pas de Ω. C’est-à-dire que, pour tout Y ∈ U(T
θ,0 ), (Y φ ˜
T ,Ω )(η) est indépendant de Ω. Considérons le normalisateur de T
θ,0 dans Z G (η, R) et son quotient
fini W η (T
θ,0 ) par T
θ,0 (R). Ce quotient agit sur les fonctions sur t
θ (R). La fonction Δ η se transforme selon un certain caractère χ de ce groupe. Parce que les
intégrales orbitales sont invariantes par ce groupe, la fonction (4) se transforme
selon le même caractère χ. Donc le développement infinitésimal commun des fonctions φ ˜
T ,Ω se transforme lui-aussi selon le caractère χ. Fixons Ω et introduisons la
fonction
φ
˜
T
= |W η (T
θ,0 )|
−1
w∈Wη(T θ,0 )
χ(w)
−1 wφ ˜
T ,Ω .
Elle a même développement infinitésimal que nos fonctions φ ˜
T ,Ω . Il existe une
fonction ϕ
˜
T
sur ˜
T (R)∩ ˜
G reg (F ) vérifiant la condition 4.13(2) et telle que la fonction
X → Δ η (X)ϕ
˜
T
(exp(X)η)
coïncide avec φ
˜
T
au voisinage de 0 dans t
θ (R) ∩ g η,reg (R). Quitte à multiplier cette
fonction par une fonction C
∞ invariante par conjugaison et à support concentré
dans un voisinage invariant de η, on peut supposer que ϕ
˜
T
vérifie la condition
4.13(3). Donc cette fonction, prolongée par 0 sur les autres éléments de ˜
T , appartient à I cusp ( ˜
G(R), ω). Par construction, ϕ
˜
T
a même développement infinitésimal
que ϕ ˜
T en η. On fait maintenant varier η parmi un ensemble (fini) de représentants
des classes de conjugaison dans O ∩ ˜
T (R) et on fait varier ˜
T parmi l’ensemble des
éléments elliptiques de ˜
T . Un argument de partition de l’unité nous fournit un
élément ϕ
˜
T
∈ I( ˜
G(R), ω) qui a même image que ϕ ˜
T dans I( ˜
G(R), ω) O,loc . Cela
achève la preuve pour F = R. Si F = C, il n’y a qu’un seul élément dans ˜
T , qui est
un espace de Levi minimal. L’espace I cusp ( ˜
G(C), ω) est nul sauf si G est un tore,
auquel cas I cusp ( ˜
G(C), ω) = I( ˜
G(C), ω). Il en est de même infinitésimalement,
quelle que soit la définition.
Rappelons que, pour nous, un élément est elliptique s’il appartient à un soustore tordu maximal elliptique. On a
(5) supposons O formé d’éléments non-elliptiques ; alors D g´ eom (O, ω) est formé
de combinaisons linéaires de distributions induites à partir d’espaces de Levi
propres.
Preuve. L’espace D g´ eom (O, ω) est engendré par des distributions γ η, ˜
T ,Ω,D comme
plus haut, où ˜
T ∈ ˜
T et η ∈ O ∩ ˜
T (F ). Notre définition d’ellipticité implique
que ˜
T n’est pas elliptique. Il est donc contenu dans un espace de Levi propre
˜
M . Les mêmes données η, ˜
T , Ω, D définissent une distribution γ ˜
M ,η, ˜
T ,Ω,D ∈
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) dont γ η, ˜
T ,Ω,D est l’induite.
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et on sait qu’elle se prolonge en une fonction C
∞ dans un voisinage de Ω (cf.
[29] remarque 3.2). Notons φ ˜
T ,Ω un tel prolongement. L’hypothèse de cuspidalité
sur ϕ ˜
T implique que le développement infinitésimal au voisinage de η de φ ˜
T ,Ω ne
dépend pas de Ω. C’est-à-dire que, pour tout Y ∈ U(T
θ,0 ), (Y φ ˜
T ,Ω )(η) est indépendant de Ω. Considérons le normalisateur de T
θ,0 dans Z G (η, R) et son quotient
fini W η (T
θ,0 ) par T
θ,0 (R). Ce quotient agit sur les fonctions sur t
θ (R). La fonction Δ η se transforme selon un certain caractère χ de ce groupe. Parce que les
intégrales orbitales sont invariantes par ce groupe, la fonction (4) se transforme
selon le même caractère χ. Donc le développement infinitésimal commun des fonctions φ ˜
T ,Ω se transforme lui-aussi selon le caractère χ. Fixons Ω et introduisons la
fonction
φ
˜
T
= |W η (T
θ,0 )|
−1
w∈Wη(T θ,0 )
χ(w)
−1 wφ ˜
T ,Ω .
Elle a même développement infinitésimal que nos fonctions φ ˜
T ,Ω . Il existe une
fonction ϕ
˜
T
sur ˜
T (R)∩ ˜
G reg (F ) vérifiant la condition 4.13(2) et telle que la fonction
X → Δ η (X)ϕ
˜
T
(exp(X)η)
coïncide avec φ
˜
T
au voisinage de 0 dans t
θ (R) ∩ g η,reg (R). Quitte à multiplier cette
fonction par une fonction C
∞ invariante par conjugaison et à support concentré
dans un voisinage invariant de η, on peut supposer que ϕ
˜
T
vérifie la condition
4.13(3). Donc cette fonction, prolongée par 0 sur les autres éléments de ˜
T , appartient à I cusp ( ˜
G(R), ω). Par construction, ϕ
˜
T
a même développement infinitésimal
que ϕ ˜
T en η. On fait maintenant varier η parmi un ensemble (fini) de représentants
des classes de conjugaison dans O ∩ ˜
T (R) et on fait varier ˜
T parmi l’ensemble des
éléments elliptiques de ˜
T . Un argument de partition de l’unité nous fournit un
élément ϕ
˜
T
∈ I( ˜
G(R), ω) qui a même image que ϕ ˜
T dans I( ˜
G(R), ω) O,loc . Cela
achève la preuve pour F = R. Si F = C, il n’y a qu’un seul élément dans ˜
T , qui est
un espace de Levi minimal. L’espace I cusp ( ˜
G(C), ω) est nul sauf si G est un tore,
auquel cas I cusp ( ˜
G(C), ω) = I( ˜
G(C), ω). Il en est de même infinitésimalement,
quelle que soit la définition.
Rappelons que, pour nous, un élément est elliptique s’il appartient à un soustore tordu maximal elliptique. On a
(5) supposons O formé d’éléments non-elliptiques ; alors D g´ eom (O, ω) est formé
de combinaisons linéaires de distributions induites à partir d’espaces de Levi
propres.
Preuve. L’espace D g´ eom (O, ω) est engendré par des distributions γ η, ˜
T ,Ω,D comme
plus haut, où ˜
T ∈ ˜
T et η ∈ O ∩ ˜
T (F ). Notre définition d’ellipticité implique
que ˜
T n’est pas elliptique. Il est donc contenu dans un espace de Levi propre
˜
M . Les mêmes données η, ˜
T , Ω, D définissent une distribution γ ˜
M ,η, ˜
T ,Ω,D ∈
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) dont γ η, ˜
T ,Ω,D est l’induite.