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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Décrivons plus concrètement l’espace D g´ eom (O, ω) dans le cas où F = R et
O est une unique classe de conjugaison. Fixons η ∈ O. Fixons un ensemble fini ˜
T
de sous-tores tordus maximaux de ˜
G tels que :
• η ∈ ˜
T (R) pour tout ˜
T ∈ ˜
T ;
• pour tout sous-tore maximal S de G η , il existe ˜
T ∈ ˜
T et il existe g ∈ Z G (η; R)
tels que S = ad g (T
θ,0 ).
Pour tout ˜
T ∈ ˜
T , notons Ω ˜
T l’ensemble des composantes connexes de t
θ (R)∩
g η,reg (R). Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), pour ˜
T ∈ ˜
T et Ω ∈ Ω ˜
T , considérons la fonction
φ f, ˜
T ,Ω sur Ω définie par
φ f, ˜
T ,Ω (X) = I
˜
G (exp(X)η, ω, f ).
Elle est nulle si ω n’est pas trivial sur T
θ (R). Comme on l’a dit, Harish-Chandra
a prouvé que cette fonction se prolongeait en une fonction C
∞ dans un voisinage de Ω. Fixons des coordonnées sur t
θ (R) et notons C[[t
θ (R)]] l’espace des
séries formelles sur t
θ (R). On note ϕ f, ˜
T ,Ω ∈ C[[t
θ (R)]] le développement en série de la fonction φ f, ˜
T ,Ω en X = 0. On pose ϕ f = (ϕ f, ˜
T ,Ω ) ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
. L’espace
I( ˜
G(R), ω) O,loc est celui de ces familles ϕ f quand f décrit C
∞
c ( ˜
G(R)). C’est un
sous-espace de
(6)
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
C[[t
θ (R)]].
On sait le décrire.
C’est le sous-espace des familles de séries formelles (ϕ ˜
T ,Ω ) ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
qui vérifient deux conditions :
(7) soient ˜
T , ˜
T
∈ ˜
T et g ∈ G(R) tel que gηg
−1 = η et g ˜
T g
−1 = ˜
T
; alors ad g
envoie Ω ˜
T sur Ω ˜
T et C[t
θ (R)] sur C[t
θ (R)] ; pour Ω ∈ Ω ˜
T , on doit avoir
ϕ ˜
T ,adg (Ω) = ω(g) ad g (ϕ ˜
T ,Ω ) ;
(8) soient ˜
T ∈ ˜
T et Ω, Ω
deux éléments adjacents de Ω ˜
T ; alors une condition de
saut relie ϕ ˜
T ,Ω , ϕ ˜
T ,Ω et ϕ ˜
T1,Ω1 , où ˜
T 1 et Ω 1 sont déterminés par ˜
T , Ω, Ω
,
˜
T 1 étant plus déployé que ˜
T (c’est-à-dire que l’on a dim(A ˜
T ) < dim(A ˜
T1 )).
On renvoie à [70] 3.2 pour cette condition de saut.
La topologie sur I( ˜
G(R), ω) O,loc s’identifie à celle déduite de la topologie
habituelle sur les espaces de séries formelles (un voisinage de 0 contient les séries
qui s’annulent en 0 à un ordre assez grand). Pour ˜
T ∈ ˜
T , notons D[t
θ (R)] l’espace
des opérateurs différentiels à coefficients constants sur t
θ (R). Cet espace se plonge
naturellement dans le dual de C[[t
θ (R)]] : on applique un opérateur différentiel à
une série formelle et on évalue le résultat en 0. Ainsi
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
D[t
θ (R)]
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Décrivons plus concrètement l’espace D g´ eom (O, ω) dans le cas où F = R et
O est une unique classe de conjugaison. Fixons η ∈ O. Fixons un ensemble fini ˜
T
de sous-tores tordus maximaux de ˜
G tels que :
• η ∈ ˜
T (R) pour tout ˜
T ∈ ˜
T ;
• pour tout sous-tore maximal S de G η , il existe ˜
T ∈ ˜
T et il existe g ∈ Z G (η; R)
tels que S = ad g (T
θ,0 ).
Pour tout ˜
T ∈ ˜
T , notons Ω ˜
T l’ensemble des composantes connexes de t
θ (R)∩
g η,reg (R). Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)), pour ˜
T ∈ ˜
T et Ω ∈ Ω ˜
T , considérons la fonction
φ f, ˜
T ,Ω sur Ω définie par
φ f, ˜
T ,Ω (X) = I
˜
G (exp(X)η, ω, f ).
Elle est nulle si ω n’est pas trivial sur T
θ (R). Comme on l’a dit, Harish-Chandra
a prouvé que cette fonction se prolongeait en une fonction C
∞ dans un voisinage de Ω. Fixons des coordonnées sur t
θ (R) et notons C[[t
θ (R)]] l’espace des
séries formelles sur t
θ (R). On note ϕ f, ˜
T ,Ω ∈ C[[t
θ (R)]] le développement en série de la fonction φ f, ˜
T ,Ω en X = 0. On pose ϕ f = (ϕ f, ˜
T ,Ω ) ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
. L’espace
I( ˜
G(R), ω) O,loc est celui de ces familles ϕ f quand f décrit C
∞
c ( ˜
G(R)). C’est un
sous-espace de
(6)
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
C[[t
θ (R)]].
On sait le décrire.
C’est le sous-espace des familles de séries formelles (ϕ ˜
T ,Ω ) ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
qui vérifient deux conditions :
(7) soient ˜
T , ˜
T
∈ ˜
T et g ∈ G(R) tel que gηg
−1 = η et g ˜
T g
−1 = ˜
T
; alors ad g
envoie Ω ˜
T sur Ω ˜
T et C[t
θ (R)] sur C[t
θ (R)] ; pour Ω ∈ Ω ˜
T , on doit avoir
ϕ ˜
T ,adg (Ω) = ω(g) ad g (ϕ ˜
T ,Ω ) ;
(8) soient ˜
T ∈ ˜
T et Ω, Ω
deux éléments adjacents de Ω ˜
T ; alors une condition de
saut relie ϕ ˜
T ,Ω , ϕ ˜
T ,Ω et ϕ ˜
T1,Ω1 , où ˜
T 1 et Ω 1 sont déterminés par ˜
T , Ω, Ω
,
˜
T 1 étant plus déployé que ˜
T (c’est-à-dire que l’on a dim(A ˜
T ) < dim(A ˜
T1 )).
On renvoie à [70] 3.2 pour cette condition de saut.
La topologie sur I( ˜
G(R), ω) O,loc s’identifie à celle déduite de la topologie
habituelle sur les espaces de séries formelles (un voisinage de 0 contient les séries
qui s’annulent en 0 à un ordre assez grand). Pour ˜
T ∈ ˜
T , notons D[t
θ (R)] l’espace
des opérateurs différentiels à coefficients constants sur t
θ (R). Cet espace se plonge
naturellement dans le dual de C[[t
θ (R)]] : on applique un opérateur différentiel à
une série formelle et on évalue le résultat en 0. Ainsi
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
D[t
θ (R)]