I.5. Distributions «géométriques»
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se plonge dans le dual de l’espace (6). Par restriction, on obtient une application
linéaire
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
D[t
θ (R)] → (I( ˜
G(R), ω) O,loc )
∗ .
L’espace D g´ eom (O, ω) est l’image de cette application.
Remarque. Arthur donne une description beaucoup plus précise en [21] lemme
1.1.
I.5.3 Filtration de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)
Fixons des mesures de Haar sur G(F ) et sur M (F ) pour tout Levi M de G. Pour
tout entier n ≥ −1 notons F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) le sous-espace de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)
engendré par les distributions induites (γ ˜
M )
˜
G , où ˜
M est un espace de Levi de ˜
G
tel que a ˜
M = n + 1 et γ ˜
M ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω). Ces espaces forment une filtration
{0} = F
a ˜
M 0 D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊂ F
a ˜
M 0
−1 D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊂ · · ·
· · · ⊂ F
a ˜
G −1 D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)
= D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Pour une réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ),
notons F
n D g´ eom (O, ω) le sous-espace de D g´ eom (O, ω) engendré par distributions
induites (γ ˜
M )
˜
G , où ˜
M est un espace de Levi de ˜
G tel que a ˜
M = n + 1 et γ ˜
M ∈
D g´ eom (O ∩ ˜
M (F ), ω).
Rappelons que l’on a défini en 4.2 une filtration (F
n I( ˜
G(F ), ω)) n≥−1 de
I( ˜
G(F ), ω).
Proposition.
(i) Pour tout entier n ≥ −1, F
n I( ˜
G(F ),ω) est l’annulateur de F
n D g´ eom ( ˜
G(F ),ω)
dans I( ˜
G(F ), ω) et F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est l’annulateur de F
n I( ˜
G(F ), ω)
dans D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
(ii) Pour toute réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F )
et tout entier n ≥ −1, on a l’égalité
F
n D g´ eom (O, ω) = F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ∩ D g´ eom (O, ω).
Preuve. On aura besoin d’une propriété préliminaire. Pour tout n ≥ 0, fixons un
ensemble L
n de représentants des classes de conjugaison par G(F ) d’espaces de
Levi ˜
M de ˜
G tels que a ˜
M = n. On considère l’application
(1)
p
n : I( ˜
G(F ), ω) → I
n = ⊕ ˜
M∈L n I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
f
→
⊕ ˜
M∈L n f ˜
M,ω .