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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Posons
I
n
cusp = ⊕ ˜
M∈L n I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) .
Par définition, F
n I( ˜
G(F ), ω) est l’image réciproque par p
n du sous-espace I
n
cusp
de I
n . On a vu en 4.2 que de l’application p
n se déduisait un isomorphisme
(2)
F
n I( ˜
G(F ), ω)/F
n−1 I( ˜
G(F ), ω) I
n
cusp .
Soit O une réunion finie de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ). On
a défini l’espace I( ˜
G, ω) O,loc en 5.1 et 5.2. Pour tout espace de Levi ˜
M , posons
O ˜
M = O ∩ ˜
M (F ). Montrons que
(3) soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ; supposons que, pour tout ˜
M ∈ L
n , l’image de f ˜
M,ω dans
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc soit nulle ; alors il existe f
∈ I( ˜
G(F ), ω) telle que p
n (f
) =
p
n (f ) et dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) O,loc soit nulle.
Supposons d’abord F non-archimédien. L’hypothèse signifie que f ˜
M,ω ∈
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 pour tout ˜
M ∈ L
n , autrement dit il existe un voisinage ˜
V ˜
M de
O ˜
M dans ˜
M (F ), invariant par conjugaison, tel que f ˜
M,ω soit nul sur ˜
V ˜
M . Fixons
de tels voisinages. On peut fixer un voisinage ˜
V de O dans ˜
G(F ), invariant par
conjugaison, tel que ˜
V ∩ ˜
M (F ) ⊂ ˜
V ˜
M pour tout ˜
M ∈ L
n . On peut supposer ˜
V
ouvert et fermé. Alors la fonction f
= f (1 − 1 ˜
V ) répond à la question.
Supposons maintenant F archimédien. Si n = a ˜
G , l’application p
n est l’identité de I( ˜
G(F ), ω) et l’assertion est claire (f
= f répond à la question). Supposons n > a ˜
G et raisonnons par récurrence sur n. Soit ˜
M ∈ L
n−1 , considérons
l’élément f ˜
M,ω ∈ I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) . L’hypothèse implique que son image dans
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc est cuspidale au sens de la deuxième définition de 5.2 (3). Précisément, cette relation nous dit qu’il existe ϕ
˜
M
∈ I cusp ( ˜
M (F ), ω) qui a même
image que f ˜
M,ω dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc . En moyennant ϕ
˜
M sur W ( ˜
M ), on peut
supposer ϕ
˜
M
∈ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) . Posons ϕ = (ϕ
˜
M ) ˜
M∈L n−1 . En appliquant (2)
pour n − 1, on relève ϕ en un élément f 0 ∈ F
n−1 I( ˜
G(F ), ω). Pour tout ˜
M ∈ L
n−1 ,
la fonction (f − f 0 ) ˜
M,ω est par construction d’image nulle dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc .
L’hypothèse de récurrence assure l’existence de f
∈ I( ˜
G(F ), ω) d’image nulle
dans I( ˜
G(F ), ω) et telle que p
n−1 (f
) = p
n−1 (f − f 0 ). L’application p
n se factorise par p
n−1 . On a donc aussi p
n (f
) = p
n (f − f 0 ). Mais p
n (f 0 ) = 0 puisque
f 0 ∈ F
n−1 I( ˜
G(F ), ω). Donc f
répond à la question. Cela prouve (3).
Puisque F
n I( ˜
G(F ), ω) est l’image réciproque par p
n de I
n
cusp , (3) entraîne
(4) soit f ∈ F
n I( ˜
G(F ), ω) ; supposons que, pour tout ˜
M ∈ L
n , l’image de f ˜
M,ω
dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc soit nulle ; alors il existe f
∈ F
n I( ˜
G(F ), ω) telle que
p
n (f
) = p
n (f ) et dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) O,loc soit nulle.
Venons-en à la preuve de la proposition. Il est clair que l’annulateur de
D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) dans I( ˜
G(F ), ω) est nul et que l’annulateur de I( ˜
G(F ), ω) dans
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Posons
I
n
cusp = ⊕ ˜
M∈L n I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) .
Par définition, F
n I( ˜
G(F ), ω) est l’image réciproque par p
n du sous-espace I
n
cusp
de I
n . On a vu en 4.2 que de l’application p
n se déduisait un isomorphisme
(2)
F
n I( ˜
G(F ), ω)/F
n−1 I( ˜
G(F ), ω) I
n
cusp .
Soit O une réunion finie de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ). On
a défini l’espace I( ˜
G, ω) O,loc en 5.1 et 5.2. Pour tout espace de Levi ˜
M , posons
O ˜
M = O ∩ ˜
M (F ). Montrons que
(3) soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ; supposons que, pour tout ˜
M ∈ L
n , l’image de f ˜
M,ω dans
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc soit nulle ; alors il existe f
∈ I( ˜
G(F ), ω) telle que p
n (f
) =
p
n (f ) et dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) O,loc soit nulle.
Supposons d’abord F non-archimédien. L’hypothèse signifie que f ˜
M,ω ∈
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 pour tout ˜
M ∈ L
n , autrement dit il existe un voisinage ˜
V ˜
M de
O ˜
M dans ˜
M (F ), invariant par conjugaison, tel que f ˜
M,ω soit nul sur ˜
V ˜
M . Fixons
de tels voisinages. On peut fixer un voisinage ˜
V de O dans ˜
G(F ), invariant par
conjugaison, tel que ˜
V ∩ ˜
M (F ) ⊂ ˜
V ˜
M pour tout ˜
M ∈ L
n . On peut supposer ˜
V
ouvert et fermé. Alors la fonction f
= f (1 − 1 ˜
V ) répond à la question.
Supposons maintenant F archimédien. Si n = a ˜
G , l’application p
n est l’identité de I( ˜
G(F ), ω) et l’assertion est claire (f
= f répond à la question). Supposons n > a ˜
G et raisonnons par récurrence sur n. Soit ˜
M ∈ L
n−1 , considérons
l’élément f ˜
M,ω ∈ I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) . L’hypothèse implique que son image dans
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc est cuspidale au sens de la deuxième définition de 5.2 (3). Précisément, cette relation nous dit qu’il existe ϕ
˜
M
∈ I cusp ( ˜
M (F ), ω) qui a même
image que f ˜
M,ω dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc . En moyennant ϕ
˜
M sur W ( ˜
M ), on peut
supposer ϕ
˜
M
∈ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) . Posons ϕ = (ϕ
˜
M ) ˜
M∈L n−1 . En appliquant (2)
pour n − 1, on relève ϕ en un élément f 0 ∈ F
n−1 I( ˜
G(F ), ω). Pour tout ˜
M ∈ L
n−1 ,
la fonction (f − f 0 ) ˜
M,ω est par construction d’image nulle dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc .
L’hypothèse de récurrence assure l’existence de f
∈ I( ˜
G(F ), ω) d’image nulle
dans I( ˜
G(F ), ω) et telle que p
n−1 (f
) = p
n−1 (f − f 0 ). L’application p
n se factorise par p
n−1 . On a donc aussi p
n (f
) = p
n (f − f 0 ). Mais p
n (f 0 ) = 0 puisque
f 0 ∈ F
n−1 I( ˜
G(F ), ω). Donc f
répond à la question. Cela prouve (3).
Puisque F
n I( ˜
G(F ), ω) est l’image réciproque par p
n de I
n
cusp , (3) entraîne
(4) soit f ∈ F
n I( ˜
G(F ), ω) ; supposons que, pour tout ˜
M ∈ L
n , l’image de f ˜
M,ω
dans I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc soit nulle ; alors il existe f
∈ F
n I( ˜
G(F ), ω) telle que
p
n (f
) = p
n (f ) et dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) O,loc soit nulle.
Venons-en à la preuve de la proposition. Il est clair que l’annulateur de
D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) dans I( ˜
G(F ), ω) est nul et que l’annulateur de I( ˜
G(F ), ω) dans