I.5. Distributions «géométriques»
127
D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est nul. Soient f ∈ I( ˜
G(F ), ω) et n ≥ −1. Alors f appartient
à l’annulateur de F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) si et seulement si, pour tout ˜
M ∈ L
n+1 et
tout γ ˜
M ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω), on a I
˜
G ((γ ˜
M )
˜
G , ω, f) = 0. Cette égalité équivaut à
I
˜
M (γ ˜
M , ω, f ˜
M,ω ) = 0. Comme on vient de le dire, elle est vérifiée pour tout γ ˜
M si
et seulement si f ˜
M,ω = 0. Donc f appartient à l’annulateur de F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)
si et seulement si f ˜
M,ω = 0 pour tout ˜
M ∈ L
n+1 . Mais c’est la définition de
l’espace F
n I( ˜
G(F ), ω). Cela prouve la première assertion.
Pour tout entier n ≥ −1, notons Ann
n l’annulateur de
F
n I( ˜
G(F ), ω) dans D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Fixons une réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ). On
va prouver que
(5) F
n D g´ eom (O, ω) = Ann
n
∩D g´ eom (O, ω).
D’après ce que l’on a déjà démontré, on a
F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊂ Ann
n .
D’autre part, par définition, on a
F
n D g´ eom (O, ω) ⊂ F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Donc le membre de gauche de (5) est inclus dans celui de droite. On démontre l’inclusion inverse par récurrence descendante sur n. Si n = a ˜
M0 , on a F
n I( ˜
G(F ), ω) =
I( ˜
G, ω) et Ann
n = {0} comme on l’a dit ci-dessus. L’inclusion est évidente.
Supposons que n < a ˜
M0 et que l’assertion soit vérifiée pour n + 1. Soit γ ∈
Ann
n
∩D g´ eom (O, ω). Supposons d’abord F non-archimédien.
On a défini en 5.1 l’espace I( ˜
G(F ), ω) O,0 . C’est le noyau de l’application
I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
G(F ), ω) O,loc . La propriété (4) entraîne que l’application
F
n+1 I( ˜
G(F ), ω) ∩ I( ˜
G(F ), ω) O,0
→ ⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 ∩ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
est surjective.
Puisque γ ∈ Ann
n , la distribution γ se factorise en une forme linéaire γ
n+1
sur F
n+1 I( ˜
G(F ), ω)/F
n I( ˜
G(F ), ω) I
n+1
cusp . Puisque γ ∈ D g´ eom (O, ω), la surjectivité ci-dessus entraîne que γ
n+1 annule le sous-espace
⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 ∩ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
⊂ I
n+1
cusp .
On peut donc prolonger γ
n+1 en une forme linéaire sur
⊕ ˜
M∈L n+1
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
,
127
D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) est nul. Soient f ∈ I( ˜
G(F ), ω) et n ≥ −1. Alors f appartient
à l’annulateur de F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) si et seulement si, pour tout ˜
M ∈ L
n+1 et
tout γ ˜
M ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω), on a I
˜
G ((γ ˜
M )
˜
G , ω, f) = 0. Cette égalité équivaut à
I
˜
M (γ ˜
M , ω, f ˜
M,ω ) = 0. Comme on vient de le dire, elle est vérifiée pour tout γ ˜
M si
et seulement si f ˜
M,ω = 0. Donc f appartient à l’annulateur de F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω)
si et seulement si f ˜
M,ω = 0 pour tout ˜
M ∈ L
n+1 . Mais c’est la définition de
l’espace F
n I( ˜
G(F ), ω). Cela prouve la première assertion.
Pour tout entier n ≥ −1, notons Ann
n l’annulateur de
F
n I( ˜
G(F ), ω) dans D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Fixons une réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ). On
va prouver que
(5) F
n D g´ eom (O, ω) = Ann
n
∩D g´ eom (O, ω).
D’après ce que l’on a déjà démontré, on a
F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊂ Ann
n .
D’autre part, par définition, on a
F
n D g´ eom (O, ω) ⊂ F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
Donc le membre de gauche de (5) est inclus dans celui de droite. On démontre l’inclusion inverse par récurrence descendante sur n. Si n = a ˜
M0 , on a F
n I( ˜
G(F ), ω) =
I( ˜
G, ω) et Ann
n = {0} comme on l’a dit ci-dessus. L’inclusion est évidente.
Supposons que n < a ˜
M0 et que l’assertion soit vérifiée pour n + 1. Soit γ ∈
Ann
n
∩D g´ eom (O, ω). Supposons d’abord F non-archimédien.
On a défini en 5.1 l’espace I( ˜
G(F ), ω) O,0 . C’est le noyau de l’application
I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
G(F ), ω) O,loc . La propriété (4) entraîne que l’application
F
n+1 I( ˜
G(F ), ω) ∩ I( ˜
G(F ), ω) O,0
→ ⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 ∩ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
est surjective.
Puisque γ ∈ Ann
n , la distribution γ se factorise en une forme linéaire γ
n+1
sur F
n+1 I( ˜
G(F ), ω)/F
n I( ˜
G(F ), ω) I
n+1
cusp . Puisque γ ∈ D g´ eom (O, ω), la surjectivité ci-dessus entraîne que γ
n+1 annule le sous-espace
⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 ∩ I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
⊂ I
n+1
cusp .
On peut donc prolonger γ
n+1 en une forme linéaire sur
⊕ ˜
M∈L n+1
I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
,