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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
nulle sur
⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 .
On peut ensuite prolonger cette forme linéaire en une forme linéaire ⊕ ˜
M∈L n+1 γ ˜
M
sur
I
n+1 = ⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω).
Pour tout ˜
M , γ ˜
M annule I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 donc γ ˜
M ∈ D g´ eom (O ˜
M , ω). La distribution
γ
= ⊕ ˜
M∈L n+1 (γ ˜
M )
˜
G
appartient à F
n D g´ eom (O, ω) donc annule F
n I( ˜
G(F ), ω).
Puisque ⊕ ˜
M∈L n+1 γ ˜
M coïncide par construction avec γ
n+1 sur I
n+1
cusp , γ
coïncide avec γ sur F
n+1 I( ˜
G(F ), ω). Alors γ − γ
appartient à Ann
n+1
∩D g´ eom (O, ω).
En appliquant l’hypothèse de récurrence, on a
γ − γ
∈ F
n+1 D g´ eom (O, ω) ⊂ F
n D g´ eom (O, ω).
Donc aussi γ ∈ F
n D g´ eom (O, ω). Cela prouve (5) quand F est non-archimédien.
Supposons maintenant F archimédien. Le noyau de l’application I( ˜
G(F ), ω) →
I( ˜
G(F ), ω) O,loc est maintenant l’espace CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 défini en 5.2. On peut
reprendre le raisonnement en utilisant cet espace à la place de I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Il
faut vérifier que les formes linéaires que l’on construit sont continues. La continuité
de γ
n+1 résulte du fait que les espaces F
n I( ˜
G(F ), ω) sont évidemment fermés
et que l’isomorphisme (2) est un homéomorphisme ([69] théorème 11.2). Il faut
pouvoir choisir des γ ˜
M continus. Pour cela, il suffit de prouver que
(6) pour tout ˜
M ∈ L
n+1 , le sous-espace
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
de I( ˜
M (F ), ω) est fermé.
Le groupe W ( ˜
M ) agit sur I( ˜
M (F ), ω). On peut décomposer cet espace en
somme de sous-espaces isotypiques pour cette action. Chacun de ces sous-espaces
est fermé et I( ˜
M (F ), ω) en est la somme directe topologique. Notons cette décomposition
I( ˜
M (F ), ω) = ⊕ τ ∈W ( ˜
M) ∨ I( ˜
M (F ), ω) τ .
Par définition de O ˜
M , l’espace I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 est invariant par W ( ˜
M ), donc
somme directe de ses intersections avec chacun des sous-espaces I( ˜
M (F ), ω) τ . Il
en résulte que CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 vérifie la même propriété. Notons
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 = ⊕ τ ∈W ( ˜
M) ∨ CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0,τ
la décomposition obtenue.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
nulle sur
⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 .
On peut ensuite prolonger cette forme linéaire en une forme linéaire ⊕ ˜
M∈L n+1 γ ˜
M
sur
I
n+1 = ⊕ ˜
M∈L n+1 I( ˜
M (F ), ω).
Pour tout ˜
M , γ ˜
M annule I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 donc γ ˜
M ∈ D g´ eom (O ˜
M , ω). La distribution
γ
= ⊕ ˜
M∈L n+1 (γ ˜
M )
˜
G
appartient à F
n D g´ eom (O, ω) donc annule F
n I( ˜
G(F ), ω).
Puisque ⊕ ˜
M∈L n+1 γ ˜
M coïncide par construction avec γ
n+1 sur I
n+1
cusp , γ
coïncide avec γ sur F
n+1 I( ˜
G(F ), ω). Alors γ − γ
appartient à Ann
n+1
∩D g´ eom (O, ω).
En appliquant l’hypothèse de récurrence, on a
γ − γ
∈ F
n+1 D g´ eom (O, ω) ⊂ F
n D g´ eom (O, ω).
Donc aussi γ ∈ F
n D g´ eom (O, ω). Cela prouve (5) quand F est non-archimédien.
Supposons maintenant F archimédien. Le noyau de l’application I( ˜
G(F ), ω) →
I( ˜
G(F ), ω) O,loc est maintenant l’espace CCI( ˜
G(F ), ω) O,0 défini en 5.2. On peut
reprendre le raisonnement en utilisant cet espace à la place de I( ˜
G(F ), ω) O,0 . Il
faut vérifier que les formes linéaires que l’on construit sont continues. La continuité
de γ
n+1 résulte du fait que les espaces F
n I( ˜
G(F ), ω) sont évidemment fermés
et que l’isomorphisme (2) est un homéomorphisme ([69] théorème 11.2). Il faut
pouvoir choisir des γ ˜
M continus. Pour cela, il suffit de prouver que
(6) pour tout ˜
M ∈ L
n+1 , le sous-espace
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
de I( ˜
M (F ), ω) est fermé.
Le groupe W ( ˜
M ) agit sur I( ˜
M (F ), ω). On peut décomposer cet espace en
somme de sous-espaces isotypiques pour cette action. Chacun de ces sous-espaces
est fermé et I( ˜
M (F ), ω) en est la somme directe topologique. Notons cette décomposition
I( ˜
M (F ), ω) = ⊕ τ ∈W ( ˜
M) ∨ I( ˜
M (F ), ω) τ .
Par définition de O ˜
M , l’espace I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 est invariant par W ( ˜
M ), donc
somme directe de ses intersections avec chacun des sous-espaces I( ˜
M (F ), ω) τ . Il
en résulte que CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 vérifie la même propriété. Notons
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 = ⊕ τ ∈W ( ˜
M) ∨ CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0,τ
la décomposition obtenue.