I.5. Distributions «géométriques»
129
Remarquons que le sous-espace d’invariants I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) n’est autre que
I( ˜
M (F ), ω) 1 , où 1 est la représentation triviale de W ( ˜
M ). Alors
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
est la somme directe de
CCI( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
et des espaces CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0,τ pour τ = 1. Ces derniers étant fermés, il suffit
de prouver que le premier l’est. Celui-ci est l’intersection de I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) avec
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω).
Puisque I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) est fermé, il suffit de prouver que le sous-espace cidessus est fermé. Or la propriété 5.2(3) assure que c’est l’image réciproque dans
I( ˜
M (F ), ω) du sous-espace des éléments cuspidaux de I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc . Et celuici est fermé (d’après sa seconde définition, cf 5.2(3)). D’où l’assertion (6).
Modulo ces propriétés, la même preuve que dans le cas non-archimédien
s’applique. Cela prouve (5) pour tout F .
Soit γ ∈ Ann
n . Par définition de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω), il existe une réunion finie
O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ) telle que γ ∈ D g´ eom (O, ω).
En appliquant (5), on obtient
γ ∈ F
n D g´ eom (O, ω) ⊂ F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
D’où l’inclusion Ann
n
⊂ F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω). On a déjà prouvé l’inclusion réciproque. D’où l’égalité de ces espaces, ce qui est la deuxième assertion de (i). Grâce
à cette assertion, le (ii) de l’énoncé n’est autre que (5).
I.5.4 Distributions géométriques stables dans le cas non-archimédien
Supposons F non-archimédien et (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
On note D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
G(F )) qui se factorisent en une forme linéaire sur SI( ˜
G(F )). Soit O une réunion finie de classes de
conjugaison stable dans ˜
G(F ). On note D
st
g´ eom (O) = D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ∩ D g´ eom (O).
Notons SI( ˜
G(F )) O,0 le sous-espace des éléments f ∈ SI( ˜
G(F )) pour lesquels
il existe un voisinage ˜
U de O tel que S
˜
G (γ, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
U . Posons
SI( ˜
G(F )) O,loc = SI( ˜
G(F ))/SI( ˜
G(F )) O,0 . On a encore
(1) D
st
g´ eom (O) est l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui se factorisent
par la projection C
∞
c ( ˜
G(F )) → SI( ˜
G(F )) O,loc .
On a aussi
(2) D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) est la somme directe des sous-espaces D
st
g´ eom (O) quand O décrit
les classes de conjugaison stable semi-simples.
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Remarquons que le sous-espace d’invariants I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) n’est autre que
I( ˜
M (F ), ω) 1 , où 1 est la représentation triviale de W ( ˜
M ). Alors
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
est la somme directe de
CCI( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M )
et des espaces CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0,τ pour τ = 1. Ces derniers étant fermés, il suffit
de prouver que le premier l’est. Celui-ci est l’intersection de I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) avec
CCI( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,0 + I cusp ( ˜
M (F ), ω).
Puisque I( ˜
M (F ), ω)
W ( ˜
M ) est fermé, il suffit de prouver que le sous-espace cidessus est fermé. Or la propriété 5.2(3) assure que c’est l’image réciproque dans
I( ˜
M (F ), ω) du sous-espace des éléments cuspidaux de I( ˜
M (F ), ω) O ˜
M ,loc . Et celuici est fermé (d’après sa seconde définition, cf 5.2(3)). D’où l’assertion (6).
Modulo ces propriétés, la même preuve que dans le cas non-archimédien
s’applique. Cela prouve (5) pour tout F .
Soit γ ∈ Ann
n . Par définition de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω), il existe une réunion finie
O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ) telle que γ ∈ D g´ eom (O, ω).
En appliquant (5), on obtient
γ ∈ F
n D g´ eom (O, ω) ⊂ F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω).
D’où l’inclusion Ann
n
⊂ F
n D g´ eom ( ˜
G(F ), ω). On a déjà prouvé l’inclusion réciproque. D’où l’égalité de ces espaces, ce qui est la deuxième assertion de (i). Grâce
à cette assertion, le (ii) de l’énoncé n’est autre que (5).
I.5.4 Distributions géométriques stables dans le cas non-archimédien
Supposons F non-archimédien et (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
On note D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
G(F )) qui se factorisent en une forme linéaire sur SI( ˜
G(F )). Soit O une réunion finie de classes de
conjugaison stable dans ˜
G(F ). On note D
st
g´ eom (O) = D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ∩ D g´ eom (O).
Notons SI( ˜
G(F )) O,0 le sous-espace des éléments f ∈ SI( ˜
G(F )) pour lesquels
il existe un voisinage ˜
U de O tel que S
˜
G (γ, f ) = 0 pour tout γ ∈ ˜
U . Posons
SI( ˜
G(F )) O,loc = SI( ˜
G(F ))/SI( ˜
G(F )) O,0 . On a encore
(1) D
st
g´ eom (O) est l’espace des formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
G(F )) qui se factorisent
par la projection C
∞
c ( ˜
G(F )) → SI( ˜
G(F )) O,loc .
On a aussi
(2) D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) est la somme directe des sous-espaces D
st
g´ eom (O) quand O décrit
les classes de conjugaison stable semi-simples.