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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )). Les parties semi-simples des éléments de son
support restent dans un ensemble fini de classes de conjugaison stable. Notons
O 1 , . . . , O n ces classes. En utilisant la construction de 4.6, on peut trouver pour
chaque i = 1, . . . , n un voisinage ouvert et fermé ˜
U i de O i de sorte que
– ˜
U i ∩ ˜
U j = ∅ si i = j ;
– si γ, γ
∈ ˜
G reg (F ) sont stablement conjugués, alors γ ∈ ˜
U i si et seulement si
γ
∈ ˜
U i .
On note 1 ˜
Ui la fonction caractéristique de ˜
U i et δ i la distribution f →
δ(f 1 ˜
Ui ). Elle est encore stable d’après la seconde condition ci-dessus. Elle appartient clairement à D
st
g´ eom (O i ). Enfin, δ est la somme des δ i d’après la première
condition ci-dessus.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. L’application d’induction préserve la stabilité
(parce que, si f ∈ I( ˜
G(F )) a une image nulle dans SI( ˜
G(F )), alors l’image de f ˜
M
dans SI( ˜
M (F )) est nulle). On a donc un homomorphisme d’induction
D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
δ
→
δ
˜
G
.
I.5.5 Distributions géométriques stables dans le cas archimédien
On suppose F archimédien et (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On
note D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
G(F )) qui se factorisent
en une forme linéaire sur SI( ˜
G(F )). En adaptant la construction du paragraphe
5.2, on munit SI( ˜
G(F )) d’une topologie. L’espace D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) s’identifie à celui
des formes linéaires continues sur cet espace qui sont supportées par la réunion
d’un nombre fini de classes de conjugaison stable semi-simples. Pour une telle
réunion finie O, on définit les espaces D
st
g´ eom (O) et SI( ˜
G(F )) O,0 comme dans
le cas non-archimédien. On note CCSI( ˜
G(F )) O,0 sa clôture dans SI( ˜
G(F )) et le
quotient SI( ˜
G(F )) O,loc = SI( ˜
G(F ))/CCSI( ˜
G(F )) O,0 . On a comme en 5.2(2)
(1) D
st
g´ eom (O) s’identifie à l’espace des formes linéaires continues sur
SI( ˜
G(F )) O,loc .
La preuve de 5.2(3) s’adapte :
(2) les deux définitions possibles d’un espace SI cusp ( ˜
G(F )) O,loc sont équivalentes.
Enfin, on a
(3) D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) est la somme directe des sous-espaces D
st
g´ eom (O), quand O décrit les classes de conjugaison stable semi-simples.
La preuve de 5.4(2) s’adapte, en remplaçant les fonctions 1 ˜
Ui par des fonctions C
∞ convenables.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )). Les parties semi-simples des éléments de son
support restent dans un ensemble fini de classes de conjugaison stable. Notons
O 1 , . . . , O n ces classes. En utilisant la construction de 4.6, on peut trouver pour
chaque i = 1, . . . , n un voisinage ouvert et fermé ˜
U i de O i de sorte que
– ˜
U i ∩ ˜
U j = ∅ si i = j ;
– si γ, γ
∈ ˜
G reg (F ) sont stablement conjugués, alors γ ∈ ˜
U i si et seulement si
γ
∈ ˜
U i .
On note 1 ˜
Ui la fonction caractéristique de ˜
U i et δ i la distribution f →
δ(f 1 ˜
Ui ). Elle est encore stable d’après la seconde condition ci-dessus. Elle appartient clairement à D
st
g´ eom (O i ). Enfin, δ est la somme des δ i d’après la première
condition ci-dessus.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. L’application d’induction préserve la stabilité
(parce que, si f ∈ I( ˜
G(F )) a une image nulle dans SI( ˜
G(F )), alors l’image de f ˜
M
dans SI( ˜
M (F )) est nulle). On a donc un homomorphisme d’induction
D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
δ
→
δ
˜
G
.
I.5.5 Distributions géométriques stables dans le cas archimédien
On suppose F archimédien et (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On
note D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
G(F )) qui se factorisent
en une forme linéaire sur SI( ˜
G(F )). En adaptant la construction du paragraphe
5.2, on munit SI( ˜
G(F )) d’une topologie. L’espace D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) s’identifie à celui
des formes linéaires continues sur cet espace qui sont supportées par la réunion
d’un nombre fini de classes de conjugaison stable semi-simples. Pour une telle
réunion finie O, on définit les espaces D
st
g´ eom (O) et SI( ˜
G(F )) O,0 comme dans
le cas non-archimédien. On note CCSI( ˜
G(F )) O,0 sa clôture dans SI( ˜
G(F )) et le
quotient SI( ˜
G(F )) O,loc = SI( ˜
G(F ))/CCSI( ˜
G(F )) O,0 . On a comme en 5.2(2)
(1) D
st
g´ eom (O) s’identifie à l’espace des formes linéaires continues sur
SI( ˜
G(F )) O,loc .
La preuve de 5.2(3) s’adapte :
(2) les deux définitions possibles d’un espace SI cusp ( ˜
G(F )) O,loc sont équivalentes.
Enfin, on a
(3) D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) est la somme directe des sous-espaces D
st
g´ eom (O), quand O décrit les classes de conjugaison stable semi-simples.
La preuve de 5.4(2) s’adapte, en remplaçant les fonctions 1 ˜
Ui par des fonctions C
∞ convenables.