I.5. Distributions «géométriques»
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Décrivons concrètement l’espace D
st
g´ eom (O) dans le cas où F = R et où O
est une unique classe de conjugaison stable. On doit fixer η ∈ O tel que G η soit
quasi-déployé. On choisit un ensemble ˜
T de sous-tores tordus maximaux de ˜
G de
sorte que
• η ∈ ˜
T (R) pour tout ˜
T ∈ ˜
T ;
• pour tout sous-tore maximal S de G η , il existe ˜
T ∈ ˜
T et il existe g ∈ Z G (η)
tels que S = ad g (T ) et l’isomorphisme ad g : T → S soit défini sur R.
En remplaçant les intégrales orbitales par les intégrales orbitales stables dans
les définitions de 5.2, l’espace SI( ˜
G(R)) O,loc s’identifie à un sous-espace de l’espace
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
C[[t(R)]].
Grâce aux résultats de Shelstad, on peut encore le caractériser par des conditions
similaires à 5.2(7) et (8). On construit de même une application linéaire
⊕ ˜
T ∈ ˜
T ,Ω∈Ω ˜
T
D[t(R)] → SI( ˜
G(R)) O,loc
dont l’image est D
st
g´ eom (O).
L’écriture des intégrales orbitales stables comme somme d’intégrales orbitales
fournit une application linéaire surjective
⊕ O I( ˜
G(R)) O ,loc → SI( ˜
G(R)) O,loc ,
où O
décrit les classes de conjugaison par G(R) contenues dans O. Dualement,
on a une application linéaire injective
D
st
g´ eom (O) → D g´ eom (O) = ⊕ O D g´ eom (O
).
I.5.6 Constructions formelles
Le corps F est quelconque et (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure.
On suppose donnée une extension
1 → C 1 → G 1 → G → 1
où C 1 est un tore central induit, une extension compatible
˜
G 1 → ˜
G
avec ˜
G 1 à torsion intérieure, et un caractère λ 1 de C 1 (F ).
En adaptant les définitions des paragraphes précédents, on définit les espaces de distributions D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F )) et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F )). Leurs éléments sont
des formes linéaires respectivement sur I λ1 ( ˜
G 1 (F )) et SI λ1 ( ˜
G 1 (F )). De même,
pour une réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples dans ˜
G(F ), on
définit des espaces localisés que l’on note I λ1 ( ˜
G 1 (F )) O,loc et D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ), O).