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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Si O est une réunions finie de classes de conjugaison stable, on a les variantes
SI λ1 ( ˜
G 1 (F )) O,loc et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ), O).
Décrivons concrètement D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ), O) quand F = R et O est une
unique classe de conjugaison. On fixe cette fois η 1 ∈ ˜
G 1 (R) se projetant en un
élément de O. Remplaçons ˜
G par ˜
G 1 et η par η 1 dans les constructions de 5.2
pour définir un ensemble ˜
T 1 et, pour tout ˜
T 1 ∈ ˜
T 1 , un ensemble Ω ˜
T1 . Pour f ∈
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (R)), on définit la famille
(ϕ f, ˜
T1,Ω ) ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
∈ ⊕ ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
C[[t 1 (R)]]
comme en 5.2. Alors I λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc est l’espace de ces familles quand f décrit
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (R)). On peut décrire cet espace comme celui des familles de séries formelles (ϕ ˜
T1,Ω ) ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
qui vérifient la condition 5.2(8) et les conditions (1) et
(2) suivantes.
(1) Soient ˜
T 1 , ˜
T
1 ∈ ˜
T 1 , g 1 ∈ G 1 (R) et c ∈ C 1 (R) tels que g 1 η 1 g
−1
1
= cη 1 et
ad g1 ( ˜
T 1 ) = ˜
T
1 ; pour tout Ω ∈ Ω ˜
T1 , on a ϕ ˜
T
1 ,adg 1 (Ω) = λ 1 (c)
−1 ad g1 (ϕ ˜
T1,Ω ).
Remarquons que cette condition est plus forte que 5.2(7). Pour tout ˜
T 1 ∈ ˜
T 1 ,
on peut fixer une décomposition t 1 = t ⊕ c 1 de sorte que t contienne l’intersection
de t 1 avec l’algèbre de Lie du groupe dérivé de G 1 . On a alors une application
injective
C[[t(R)]] ⊗ C[[c 1 (R)]] → C[[t 1 (R)]].
En développant en série formelle le caractère λ
−1
1 , on obtient un élément ϕ λ1 de
C[[c 1 (R)]]. Alors
(2) pour tout Ω ∈ Ω 1 , il existe ϕ ˜
T ,Ω ∈ C[[t(R)]] tel que ϕ ˜
T1,Ω = ϕ ˜
T ,Ω ϕ λ1 .
De nouveau, on a une application linéaire
⊕ ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
D[t 1 (R)] → (I λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc )
∗ .
L’espace D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O) est l’image de cette application.
Notons O 1 la classe de conjugaison par G 1 (R) engendrée par γ 1 . Il résulte
des descriptions ci-dessus que
I λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc ⊂ I( ˜
G 1 (R)) O1,loc
et qu’il y a une application linéaire naturelle et surjective
D g´ eom (O 1 ) → D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O).
Supposons toujours F = R et soit O une classe de conjugaison stable semisimple. On suppose G 1,η1 quasi-déployé.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Si O est une réunions finie de classes de conjugaison stable, on a les variantes
SI λ1 ( ˜
G 1 (F )) O,loc et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ), O).
Décrivons concrètement D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ), O) quand F = R et O est une
unique classe de conjugaison. On fixe cette fois η 1 ∈ ˜
G 1 (R) se projetant en un
élément de O. Remplaçons ˜
G par ˜
G 1 et η par η 1 dans les constructions de 5.2
pour définir un ensemble ˜
T 1 et, pour tout ˜
T 1 ∈ ˜
T 1 , un ensemble Ω ˜
T1 . Pour f ∈
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (R)), on définit la famille
(ϕ f, ˜
T1,Ω ) ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
∈ ⊕ ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
C[[t 1 (R)]]
comme en 5.2. Alors I λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc est l’espace de ces familles quand f décrit
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (R)). On peut décrire cet espace comme celui des familles de séries formelles (ϕ ˜
T1,Ω ) ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
qui vérifient la condition 5.2(8) et les conditions (1) et
(2) suivantes.
(1) Soient ˜
T 1 , ˜
T
1 ∈ ˜
T 1 , g 1 ∈ G 1 (R) et c ∈ C 1 (R) tels que g 1 η 1 g
−1
1
= cη 1 et
ad g1 ( ˜
T 1 ) = ˜
T
1 ; pour tout Ω ∈ Ω ˜
T1 , on a ϕ ˜
T
1 ,adg 1 (Ω) = λ 1 (c)
−1 ad g1 (ϕ ˜
T1,Ω ).
Remarquons que cette condition est plus forte que 5.2(7). Pour tout ˜
T 1 ∈ ˜
T 1 ,
on peut fixer une décomposition t 1 = t ⊕ c 1 de sorte que t contienne l’intersection
de t 1 avec l’algèbre de Lie du groupe dérivé de G 1 . On a alors une application
injective
C[[t(R)]] ⊗ C[[c 1 (R)]] → C[[t 1 (R)]].
En développant en série formelle le caractère λ
−1
1 , on obtient un élément ϕ λ1 de
C[[c 1 (R)]]. Alors
(2) pour tout Ω ∈ Ω 1 , il existe ϕ ˜
T ,Ω ∈ C[[t(R)]] tel que ϕ ˜
T1,Ω = ϕ ˜
T ,Ω ϕ λ1 .
De nouveau, on a une application linéaire
⊕ ˜
T1∈ ˜
T1,Ω∈Ω ˜
T 1
D[t 1 (R)] → (I λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc )
∗ .
L’espace D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O) est l’image de cette application.
Notons O 1 la classe de conjugaison par G 1 (R) engendrée par γ 1 . Il résulte
des descriptions ci-dessus que
I λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc ⊂ I( ˜
G 1 (R)) O1,loc
et qu’il y a une application linéaire naturelle et surjective
D g´ eom (O 1 ) → D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O).
Supposons toujours F = R et soit O une classe de conjugaison stable semisimple. On suppose G 1,η1 quasi-déployé.