I.5. Distributions «géométriques»
133
Les espaces SI λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O) se décrivent comme précédemment, avec de légères variantes. On a les mêmes conséquences que ci-dessus,
à savoir que l’on a l’inclusion
SI λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc ⊂ SI( ˜
G 1 (R)) O1,loc
et qu’il y a une application linéaire naturelle et surjective
D
st
g´ eom (O 1 ) → D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O).
On revient à un corps de base F quelconque. Considérons une autre série de
données G 2 , ˜
G 2 , C 2 , λ 2 vérifiant les mêmes hypothèses. Notons G 12 le produit fibré
de G 1 et G 2 au-dessus de G et ˜
G 12 celui de ˜
G 1 et ˜
G 2 au-dessus de ˜
G. Considérons
un caractère continu λ 12 de G 12 (F ) dont la restriction à C 1 (F ) × C 2 (F ) soit
λ 1 ×λ
−1
2 et une fonction non nulle ˜
λ 12 sur ˜
G 12 (F ) telle que ˜
λ 12 (gγ) = λ 12 (g) ˜
λ 12 (γ)
pour tous g ∈ G 12 (F ) et γ ∈ ˜
G 12 (F ). On a alors un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F )) C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F ))
qui, à f 1 sur ˜
G 1 (F ), associe la fonction f 2 sur ˜
G 2 (F ) telle que
f 2 (γ 2 ) = f 1 (γ 1 ) ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 )
pour tous (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (F ). Remarquons que, dans le cas archimédien, il s’agit
d’un homéomorphisme, ˜
λ 12 étant nécessairement C
∞ . On voit que l’isomorphisme
ci-dessus se dualise en un isomorphisme
D g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F )) D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ))
qui se restreint en un isomorphisme
D
st
g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F )) D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F )).
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit G
une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). Des constructions ci-dessus se déduisent la définition de l’espace D g´ eom (G
) et de son sous-espace D
st
g´ eom (G
). Leurs éléments sont
des formes linéaires sur I(G
), resp. SI(G
), continues dans le cas où F est archimédien. Soit O
une réunion finie de classes de conjugaison stable semi-simples de
˜
G
(F ). On définit comme en 5.4 le sous-espace D
st
g´ eom (G
, O
) ⊂ D
st
g´ eom (G
), l’espace SI(G
) O ,0 , sa clôture CCSI(G
) O ,0 dans le cas archimédien, et le quotient
SI(G
) O ,loc =
SI(G
)/SI(G
) O ,0 , si F est non-archimédien
SI(G
)/CCSI(G
) O ,0 , si F est archimédien.
L’espace D
st
g´ eom (G
, O
) est celui des formes linéaires sur C
∞
c (G
) qui se factorisent
en une forme linéaire (continue dans le cas archimédien) sur SI(G
) O ,loc .
133
Les espaces SI λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O) se décrivent comme précédemment, avec de légères variantes. On a les mêmes conséquences que ci-dessus,
à savoir que l’on a l’inclusion
SI λ1 ( ˜
G 1 (R)) O,loc ⊂ SI( ˜
G 1 (R)) O1,loc
et qu’il y a une application linéaire naturelle et surjective
D
st
g´ eom (O 1 ) → D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (R), O).
On revient à un corps de base F quelconque. Considérons une autre série de
données G 2 , ˜
G 2 , C 2 , λ 2 vérifiant les mêmes hypothèses. Notons G 12 le produit fibré
de G 1 et G 2 au-dessus de G et ˜
G 12 celui de ˜
G 1 et ˜
G 2 au-dessus de ˜
G. Considérons
un caractère continu λ 12 de G 12 (F ) dont la restriction à C 1 (F ) × C 2 (F ) soit
λ 1 ×λ
−1
2 et une fonction non nulle ˜
λ 12 sur ˜
G 12 (F ) telle que ˜
λ 12 (gγ) = λ 12 (g) ˜
λ 12 (γ)
pour tous g ∈ G 12 (F ) et γ ∈ ˜
G 12 (F ). On a alors un isomorphisme
C
∞
c,λ1 ( ˜
G 1 (F )) C
∞
c,λ2 ( ˜
G 2 (F ))
qui, à f 1 sur ˜
G 1 (F ), associe la fonction f 2 sur ˜
G 2 (F ) telle que
f 2 (γ 2 ) = f 1 (γ 1 ) ˜
λ 12 (γ 1 , γ 2 )
pour tous (γ 1 , γ 2 ) ∈ ˜
G 12 (F ). Remarquons que, dans le cas archimédien, il s’agit
d’un homéomorphisme, ˜
λ 12 étant nécessairement C
∞ . On voit que l’isomorphisme
ci-dessus se dualise en un isomorphisme
D g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F )) D g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F ))
qui se restreint en un isomorphisme
D
st
g´ eom,λ2 ( ˜
G 2 (F )) D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G 1 (F )).
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit G
une donnée endoscopique relevante pour (G, ˜
G, a). Des constructions ci-dessus se déduisent la définition de l’espace D g´ eom (G
) et de son sous-espace D
st
g´ eom (G
). Leurs éléments sont
des formes linéaires sur I(G
), resp. SI(G
), continues dans le cas où F est archimédien. Soit O
une réunion finie de classes de conjugaison stable semi-simples de
˜
G
(F ). On définit comme en 5.4 le sous-espace D
st
g´ eom (G
, O
) ⊂ D
st
g´ eom (G
), l’espace SI(G
) O ,0 , sa clôture CCSI(G
) O ,0 dans le cas archimédien, et le quotient
SI(G
) O ,loc =
SI(G
)/SI(G
) O ,0 , si F est non-archimédien
SI(G
)/CCSI(G
) O ,0 , si F est archimédien.
L’espace D
st
g´ eom (G
, O
) est celui des formes linéaires sur C
∞
c (G
) qui se factorisent
en une forme linéaire (continue dans le cas archimédien) sur SI(G
) O ,loc .