134
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.5.7 Transfert de distributions «géométriques»
Si F est non-archimédien ou F = C, soit O une classe de conjugaison stable semisimple dans ˜
G(F ). On a défini l’espace D g´ eom (O, ω) ⊂ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω). Si F = R,
on doit travailler ici avec un K-espace K ˜
G. Soit O une classe de conjugaison stable
semi-simple dans K ˜
G(R). On définit l’espace D g´ eom (O, ω) ⊂ D g´ eom ( ˜
G(R), ω),
somme directe des D g´ eom (O p , ω) pour p ∈ Π, où O p = O ∩ ˜
G p (R) (O p peut être
vide). Pour tout G
∈ E( ˜
G, a), il correspond à O une réunion finie O ˜
G de classes
de conjugaison stable semi-simples dans ˜
G
(F ), qui peut être vide. Considérons
l’espace
(1) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ .
Nous allons en définir différents sous-espaces. Soient G
∈ E( ˜
G, a) et M
un
Levi de G
. On note O ˜
M la réunion des classes de conjugaison stables semi-simples
dans ˜
M
(F ) qui sont incluses dans O ˜
G . En fixant des données supplémentaires
G
1 ,. . .,Δ 1 , on dispose de l’application
SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )) → SI λ1 ( ˜
M
1 (F )) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
1
.
Par dualité, on en déduit un homomorphisme
(2)
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F ), O ˜
M ) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G
1 (F ), O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
δ
→
δ
˜
G
où les espaces de distributions sont définis de façon évidente. Le second espace
s’identifie à l’espace déjà défini D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ). L’espace D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F ), O ˜
M )
et l’homomorphisme ci-dessus ne sont a priori définis que modulo le choix de
données auxiliaires. On vérifie toutefois que l’image de cet homomorphisme dans
D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ ne dépend pas de ce choix. On note cette image
I
˜
G
˜
M (O ˜
M ). Supposons que M
soit relevant. Soit ( ˜
M , M
) l’élément de E + ( ˜
G, a)
qui lui est associé par la construction de 3.4. On identifie ˜
M
à l’espace endoscopique issu de M
. Remarquons qu’il y a deux façons de définir un ensemble
O ˜
M : soit, comme on l’a fait, par une suite O → O ˜
G → O ˜
M , soit par une
suite O → O ˜
M → O ˜
M . Les deux procédés donnent le même résultat. L’espace D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 , O ˜
M ) s’identifie à l’espace D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ) relatif à M
. Toutefois, l’homomorphisme ci-dessus dépend du choix de l’identification. Le groupe
Aut( ˜
M , M
) agit sur SI(M
). Il résulte de la définition de O ˜
M que cette action préserve SI(M
) O ˜
M ,0 et sa clôture dans le cas archimédien. Donc l’action
se descend en une action sur SI(M
) O ˜
M ,loc et il y a aussi une action duale sur
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ). On décompose cet espace en la somme du sous-espace des invariants D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
) et de son unique supplémentaire invariant par
l’action du groupe.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.5.7 Transfert de distributions «géométriques»
Si F est non-archimédien ou F = C, soit O une classe de conjugaison stable semisimple dans ˜
G(F ). On a défini l’espace D g´ eom (O, ω) ⊂ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω). Si F = R,
on doit travailler ici avec un K-espace K ˜
G. Soit O une classe de conjugaison stable
semi-simple dans K ˜
G(R). On définit l’espace D g´ eom (O, ω) ⊂ D g´ eom ( ˜
G(R), ω),
somme directe des D g´ eom (O p , ω) pour p ∈ Π, où O p = O ∩ ˜
G p (R) (O p peut être
vide). Pour tout G
∈ E( ˜
G, a), il correspond à O une réunion finie O ˜
G de classes
de conjugaison stable semi-simples dans ˜
G
(F ), qui peut être vide. Considérons
l’espace
(1) ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ .
Nous allons en définir différents sous-espaces. Soient G
∈ E( ˜
G, a) et M
un
Levi de G
. On note O ˜
M la réunion des classes de conjugaison stables semi-simples
dans ˜
M
(F ) qui sont incluses dans O ˜
G . En fixant des données supplémentaires
G
1 ,. . .,Δ 1 , on dispose de l’application
SI λ1 ( ˜
G
1 (F )) ⊗ Mes(G
(F )) → SI λ1 ( ˜
M
1 (F )) ⊗ Mes(M
(F ))
f
→
f ˜
M
1
.
Par dualité, on en déduit un homomorphisme
(2)
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F ), O ˜
M ) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
G
1 (F ), O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
δ
→
δ
˜
G
où les espaces de distributions sont définis de façon évidente. Le second espace
s’identifie à l’espace déjà défini D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ). L’espace D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F ), O ˜
M )
et l’homomorphisme ci-dessus ne sont a priori définis que modulo le choix de
données auxiliaires. On vérifie toutefois que l’image de cet homomorphisme dans
D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ ne dépend pas de ce choix. On note cette image
I
˜
G
˜
M (O ˜
M ). Supposons que M
soit relevant. Soit ( ˜
M , M
) l’élément de E + ( ˜
G, a)
qui lui est associé par la construction de 3.4. On identifie ˜
M
à l’espace endoscopique issu de M
. Remarquons qu’il y a deux façons de définir un ensemble
O ˜
M : soit, comme on l’a fait, par une suite O → O ˜
G → O ˜
M , soit par une
suite O → O ˜
M → O ˜
M . Les deux procédés donnent le même résultat. L’espace D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 , O ˜
M ) s’identifie à l’espace D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ) relatif à M
. Toutefois, l’homomorphisme ci-dessus dépend du choix de l’identification. Le groupe
Aut( ˜
M , M
) agit sur SI(M
). Il résulte de la définition de O ˜
M que cette action préserve SI(M
) O ˜
M ,0 et sa clôture dans le cas archimédien. Donc l’action
se descend en une action sur SI(M
) O ˜
M ,loc et il y a aussi une action duale sur
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ). On décompose cet espace en la somme du sous-espace des invariants D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
) et de son unique supplémentaire invariant par
l’action du groupe.