I.5. Distributions «géométriques»
135
On note D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
non-inv ce supplémentaire et I
˜
G
˜
M (O ˜
M )
non-inv son
image par l’homomorphisme (2). On vérifie que ce dernier espace ne dépend pas
des choix. Enfin, on vérifie que la restriction de (2) au sous-espace des invariants
devient un homomorphisme
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
)
⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
g´ eom (M
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
δ
→
δ
˜
G
qui est indépendant des choix.
On considère les sous-espaces suivants de l’espace (1) :
(3) les espaces I
˜
G
˜
M (O ˜
M ), pour un G
∈ E( ˜
G, a) et un Levi M
de G
qui n’est
pas relevant ;
(4) les espaces I
˜
G
˜
M (O ˜
M )
non-inv , pour un G
∈ E( ˜
G, a) et un Levi M
de G
qui
est relevant ;
(5) les espaces images d’un homomorphisme
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
)
⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ + D
st
g´ eom (G
, O ˜
G
) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
δ → δ
G
− δ
G
pour deux éléments G
, G
∈ E( ˜
G, a) et un Levi commun M
qui est relevant.
Remarque. Précisément, dans cette dernière condition, on considère G
, G
∈
E( ˜
G, a), des Levi M
de G
et M
de G
et on suppose que l’élément ( ˜
M , M
) de
E + ( ˜
G, a) associé à ces Levi est le même. Mais les données G
et G
peuvent être
les mêmes, un même élément ( ˜
M , M
) pouvant être associé à deux Levi distincts
du même groupe G
. Par exemple, si G = SO(11) et G
= SO(5) × SO(7), aux
Levi GL(2) × (GL(1) × GL(1) × GL(1)) et (GL(1) × GL(1)) × (GL(2) × GL(1))
de G
est associé le même élément de E + ( ˜
G, a). Si les données G
et G
sont les
mêmes, les applications δ → δ
G
et δ → δ
G
sont à valeurs dans le même espace
mais ne sont pas forcément les mêmes comme le montre l’exemple ci-dessus (et
malgré la notation imprécise qui pourrait le faire croire).
Proposition. Par dualité, le transfert définit une application linéaire
transfert : ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
→ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Elle est surjective. Son noyau est la somme des sous-espaces décrits ci-dessus.
La preuve est donnée dans les deux paragraphes suivants.
135
On note D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
non-inv ce supplémentaire et I
˜
G
˜
M (O ˜
M )
non-inv son
image par l’homomorphisme (2). On vérifie que ce dernier espace ne dépend pas
des choix. Enfin, on vérifie que la restriction de (2) au sous-espace des invariants
devient un homomorphisme
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
)
⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
g´ eom (M
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
δ
→
δ
˜
G
qui est indépendant des choix.
On considère les sous-espaces suivants de l’espace (1) :
(3) les espaces I
˜
G
˜
M (O ˜
M ), pour un G
∈ E( ˜
G, a) et un Levi M
de G
qui n’est
pas relevant ;
(4) les espaces I
˜
G
˜
M (O ˜
M )
non-inv , pour un G
∈ E( ˜
G, a) et un Levi M
de G
qui
est relevant ;
(5) les espaces images d’un homomorphisme
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
)
⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗ + D
st
g´ eom (G
, O ˜
G
) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
δ → δ
G
− δ
G
pour deux éléments G
, G
∈ E( ˜
G, a) et un Levi commun M
qui est relevant.
Remarque. Précisément, dans cette dernière condition, on considère G
, G
∈
E( ˜
G, a), des Levi M
de G
et M
de G
et on suppose que l’élément ( ˜
M , M
) de
E + ( ˜
G, a) associé à ces Levi est le même. Mais les données G
et G
peuvent être
les mêmes, un même élément ( ˜
M , M
) pouvant être associé à deux Levi distincts
du même groupe G
. Par exemple, si G = SO(11) et G
= SO(5) × SO(7), aux
Levi GL(2) × (GL(1) × GL(1) × GL(1)) et (GL(1) × GL(1)) × (GL(2) × GL(1))
de G
est associé le même élément de E + ( ˜
G, a). Si les données G
et G
sont les
mêmes, les applications δ → δ
G
et δ → δ
G
sont à valeurs dans le même espace
mais ne sont pas forcément les mêmes comme le montre l’exemple ci-dessus (et
malgré la notation imprécise qui pourrait le faire croire).
Proposition. Par dualité, le transfert définit une application linéaire
transfert : ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) ⊗ Mes(G
(F ))
∗
→ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Elle est surjective. Son noyau est la somme des sous-espaces décrits ci-dessus.
La preuve est donnée dans les deux paragraphes suivants.