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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.5.8 Preuve dans le cas non-archimédien
On suppose F non-archimédien. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur
tous les groupes intervenant, ce qui élimine les espaces de mesures.
Définissons un espace I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc . C’est le sous-espace des éléments
(f ( ˜
M,M ),loc ) ∈ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) O ˜
M ,loc qui vérifient les conditions (1), (2)
et (3) de 4.11. Ces conditions conservent un sens pour nos espaces «localisés». On
note
I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc
la projection naturelle de I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc dans ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O ˜
G ,loc . Il y a
un diagramme naturel de localisation
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω)
→
I
E ( ˜
G(F ), ω)
↓
↓
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc → I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc
qui est commutatif.
Montrons que
(1) les flèches verticales de ce diagramme sont surjectives.
Par définition, les flèches horizontales le sont. Il suffit donc de prouver que
la flèche verticale de gauche l’est. Soit (f ( ˜
M,M ),loc ) ∈ I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc . On relève
chaque f ( ˜
M,M ),loc en un élément f ( ˜
M,M ) ∈ SI(M
). On peut remplacer cet élément par la moyenne de ses images par l’action de Aut( ˜
M , M
). Cela nous permet
de supposer que f ( ˜
M,M ) est invariant par ce groupe. Soient G
et ( ˜
M , M
) vérifiant les hypothèses de la condition (2) de 4.11. Fixons des données auxiliaires
G
1 ,. . .,Δ 1 . Cette condition affirme l’égalité S
˜
G
1 (δ 1 , f G ) = S
˜
M
1 (δ 1 , f ( ˜
M,M ) ) pour
tout δ 1 ∈ ˜
M
1 (F ) assez régulier. Elle n’est pas forcément vérifiée par les fonctions que l’on vient d’introduire. Mais, parce que la famille de départ appartient à
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc , elle l’est si l’image δ de δ 1 dans ˜
M
(F ) est assez proche de O ˜
M .
Fixons un voisinage ˜
V de O dans ˜
G(F ), ouvert et fermé et tel que ˜
V ∩ ˜
G ss (F ) soit
invariant par conjugaison stable (un tel voisinage existe, cf. 4.6). De même que de
O, on a déduit O ˜
M , de ˜
V se déduit un voisinage ˜
V ˜
M de O ˜
M dans ˜
M
(F ). Remplaçons chaque fonction f ( ˜
M,M ) par son produit avec la fonction caractéristique de
˜
V ˜
M . Si ˜
V est assez petit, alors l’égalité d’intégrales orbitales ci-dessus est vérifiée
pour tout δ 1 , autrement dit la condition 4.11(2) est satisfaite. Un même raisonnement s’applique à la condition 4.11(3). Donc la famille (f ( ˜
M,M ) ) appartient à
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω). Cela prouve (1).
Il y a un diagramme commutatif naturel de localisation
(2)
I( ˜
G(F ), ω)
tr
→
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
)
↓
↓
I( ˜
G(F ), ω) O,loc
tr loc
→ ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O G ,loc
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.5.8 Preuve dans le cas non-archimédien
On suppose F non-archimédien. Pour simplifier, on fixe des mesures de Haar sur
tous les groupes intervenant, ce qui élimine les espaces de mesures.
Définissons un espace I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc . C’est le sous-espace des éléments
(f ( ˜
M,M ),loc ) ∈ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) O ˜
M ,loc qui vérifient les conditions (1), (2)
et (3) de 4.11. Ces conditions conservent un sens pour nos espaces «localisés». On
note
I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc
la projection naturelle de I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc dans ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O ˜
G ,loc . Il y a
un diagramme naturel de localisation
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω)
→
I
E ( ˜
G(F ), ω)
↓
↓
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc → I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc
qui est commutatif.
Montrons que
(1) les flèches verticales de ce diagramme sont surjectives.
Par définition, les flèches horizontales le sont. Il suffit donc de prouver que
la flèche verticale de gauche l’est. Soit (f ( ˜
M,M ),loc ) ∈ I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc . On relève
chaque f ( ˜
M,M ),loc en un élément f ( ˜
M,M ) ∈ SI(M
). On peut remplacer cet élément par la moyenne de ses images par l’action de Aut( ˜
M , M
). Cela nous permet
de supposer que f ( ˜
M,M ) est invariant par ce groupe. Soient G
et ( ˜
M , M
) vérifiant les hypothèses de la condition (2) de 4.11. Fixons des données auxiliaires
G
1 ,. . .,Δ 1 . Cette condition affirme l’égalité S
˜
G
1 (δ 1 , f G ) = S
˜
M
1 (δ 1 , f ( ˜
M,M ) ) pour
tout δ 1 ∈ ˜
M
1 (F ) assez régulier. Elle n’est pas forcément vérifiée par les fonctions que l’on vient d’introduire. Mais, parce que la famille de départ appartient à
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc , elle l’est si l’image δ de δ 1 dans ˜
M
(F ) est assez proche de O ˜
M .
Fixons un voisinage ˜
V de O dans ˜
G(F ), ouvert et fermé et tel que ˜
V ∩ ˜
G ss (F ) soit
invariant par conjugaison stable (un tel voisinage existe, cf. 4.6). De même que de
O, on a déduit O ˜
M , de ˜
V se déduit un voisinage ˜
V ˜
M de O ˜
M dans ˜
M
(F ). Remplaçons chaque fonction f ( ˜
M,M ) par son produit avec la fonction caractéristique de
˜
V ˜
M . Si ˜
V est assez petit, alors l’égalité d’intégrales orbitales ci-dessus est vérifiée
pour tout δ 1 , autrement dit la condition 4.11(2) est satisfaite. Un même raisonnement s’applique à la condition 4.11(3). Donc la famille (f ( ˜
M,M ) ) appartient à
I
E
+ ( ˜
G(F ), ω). Cela prouve (1).
Il y a un diagramme commutatif naturel de localisation
(2)
I( ˜
G(F ), ω)
tr
→
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
)
↓
↓
I( ˜
G(F ), ω) O,loc
tr loc
→ ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O G ,loc