I.5. Distributions «géométriques»
137
où tr est le transfert. D’après la proposition 4.11, l’image de tr est I
E ( ˜
G(F ), ω).
Grâce à (1), celle de tr loc est donc I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc . Montrons que
(3) l’homomorphisme tr loc est injectif.
Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) O,loc appartient au noyau
de tr loc . Les intégrales orbitales de f en des éléments fortement réguliers se calculent par inversion de Fourier à partir des intégrales orbitales stables des fonctions
f
G
pour G
∈ E( ˜
G, a). On a expliqué cela en 4.9(5) pour les éléments elliptiques
mais cela vaut pour tout élément puisque tout élément est elliptique dans un espace de Levi convenable. L’hypothèse implique donc que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout
γ ∈ ˜
G reg (F ) assez proche de O. Par définition, cela signifie que l’image de f dans
I( ˜
G(F ), ω) O,loc est nulle. Cela prouve (3).
La commutativité du diagramme (2) entraîne que le transfert «dual», restreint à ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ), se factorise par le dual
tr
∗
loc : ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) → D g´ eom (O, ω)
de tr loc . L’assertion (3) entraîne que tr
∗
loc est surjective. Posons pour simplifier
X ( ˜
M,M ) = D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ) pour tout ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a),
X + = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) X ( ˜
M,M ) ,
X= ⊕ G ∈E( ˜
G,a) X G ,
Y = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a), ˜
M = ˜
G X ( ˜
M,M ) , I = I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc ,
I + = I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc .
Le noyau de tr
∗
loc est l’annulateur de I dans X. Puisque I est la projection sur
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O G ,loc
de I + , cet annulateur est l’intersection avec X de l’annulateur de I + dans X + .
L’espace I + est défini par différentes conditions qui définissent chacune des sousespaces. Son annulateur est la somme des annulateurs de ces sous-espaces. La
condition 4.11(1) (ou plutôt son analogue localisée) fournit l’annulateur
(4) X
non-inv
( ˜
M,M )
= D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
non-inv
⊂ X ( ˜
M,M )
pour tout ( ˜
M, M
) ∈ E + ( ˜
G, a). La condition 4.11(2) founit pour annulateur l’image
de l’application
X ( ˜
M,M ) → X ( ˜
M,M ) ⊕ X G
δ
→
(δ, −δ
˜
G
)
pour ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a) et G
∈ E( ˜
G, a) tel que M
est un Levi propre de G
(pour être correct, il faut choisir des données auxiliaires pour définir l’application
ci-dessus). La somme de l’espace (4) avec cette image est aussi la somme de cet
espace (4) et des deux espaces suivants :
(5) l’image par δ → δ
˜
G
de X
non-inv
( ˜
M,M )
; cette image est I
˜
G
˜
M (O ˜
M )
non-inv
⊂ X G ;
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où tr est le transfert. D’après la proposition 4.11, l’image de tr est I
E ( ˜
G(F ), ω).
Grâce à (1), celle de tr loc est donc I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc . Montrons que
(3) l’homomorphisme tr loc est injectif.
Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) dont l’image dans I( ˜
G(F ), ω) O,loc appartient au noyau
de tr loc . Les intégrales orbitales de f en des éléments fortement réguliers se calculent par inversion de Fourier à partir des intégrales orbitales stables des fonctions
f
G
pour G
∈ E( ˜
G, a). On a expliqué cela en 4.9(5) pour les éléments elliptiques
mais cela vaut pour tout élément puisque tout élément est elliptique dans un espace de Levi convenable. L’hypothèse implique donc que I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout
γ ∈ ˜
G reg (F ) assez proche de O. Par définition, cela signifie que l’image de f dans
I( ˜
G(F ), ω) O,loc est nulle. Cela prouve (3).
La commutativité du diagramme (2) entraîne que le transfert «dual», restreint à ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ), se factorise par le dual
tr
∗
loc : ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) → D g´ eom (O, ω)
de tr loc . L’assertion (3) entraîne que tr
∗
loc est surjective. Posons pour simplifier
X ( ˜
M,M ) = D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ) pour tout ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a),
X + = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) X ( ˜
M,M ) ,
X= ⊕ G ∈E( ˜
G,a) X G ,
Y = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a), ˜
M = ˜
G X ( ˜
M,M ) , I = I
E ( ˜
G(F ), ω) O,loc ,
I + = I
E
+ ( ˜
G(F ), ω) O,loc .
Le noyau de tr
∗
loc est l’annulateur de I dans X. Puisque I est la projection sur
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O G ,loc
de I + , cet annulateur est l’intersection avec X de l’annulateur de I + dans X + .
L’espace I + est défini par différentes conditions qui définissent chacune des sousespaces. Son annulateur est la somme des annulateurs de ces sous-espaces. La
condition 4.11(1) (ou plutôt son analogue localisée) fournit l’annulateur
(4) X
non-inv
( ˜
M,M )
= D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
non-inv
⊂ X ( ˜
M,M )
pour tout ( ˜
M, M
) ∈ E + ( ˜
G, a). La condition 4.11(2) founit pour annulateur l’image
de l’application
X ( ˜
M,M ) → X ( ˜
M,M ) ⊕ X G
δ
→
(δ, −δ
˜
G
)
pour ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a) et G
∈ E( ˜
G, a) tel que M
est un Levi propre de G
(pour être correct, il faut choisir des données auxiliaires pour définir l’application
ci-dessus). La somme de l’espace (4) avec cette image est aussi la somme de cet
espace (4) et des deux espaces suivants :
(5) l’image par δ → δ
˜
G
de X
non-inv
( ˜
M,M )
; cette image est I
˜
G
˜
M (O ˜
M )
non-inv
⊂ X G ;