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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(6) l’image de l’application
X
inv
( ˜
M,M )
= D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
)
→ X ( ˜
M,M ) ⊕ X G
δ
→
(δ, −δ
˜
G
).
La condition 4.11(3) fournit pour annulateur l’espace
(7) I
˜
G
˜
M (O ˜
M ) ⊂ X G ,
pour tout G
∈ E( ˜
G, a) et tout Levi M
de G
qui n’est pas relevant. Les espaces
(7) sont les mêmes qu’en 5.7(3). Les espaces (4) pour ˜
M = ˜
G ou (5) pour ˜
M = ˜
G
sont les mêmes qu’en 5.7(4). Ces espaces sont inclus dans X. Il reste à prouver
que l’intersection avec X de la somme des espaces (6) et (4) pour ˜
M = ˜
G est la
somme des espaces 5.7(5). Un élément de cette intersection est une somme sur
( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a), ˜
M = ˜
G, de termes
x ( ˜
M,M ) = δ
non-inv +
i=1,...,n
(δ i , −δ
G
i
i ),
où δ
non-inv
∈ X
non-inv
( ˜
M,M )
, δ i ∈ X
inv
( ˜
M,M )
pour tout i et où on a noté G
1 ,. . .,G
n
les éléments de E( ˜
G, a) dont M
est un Levi (ces termes ne sont pas forcément
distincts, cf. la remarque suivant 5.7(5)). Fixons ( ˜
M , M
) et projetons sur X ( ˜
M,M ) .
Cette projection doit être nulle. Cela entraîne que la projection de x ( ˜
M,M ) est
nulle. Avec les notations ci-dessus, on a δ
non-inv = 0 et
i=1,...,n δ i = 0. Alors
x ( ˜
M,M ) =
i=1,...,n−1
(δ 1 + · · · + δ i )
G
i+1 − (δ 1 + · · · + δ i )
G
i
qui appartient à la somme des espaces 5.7(5). La réciproque est claire. Cela achève
la preuve.
I.5.9 Preuve dans le cas archimédien
On suppose F = R ou C. Pour unifier les notations, on pose K ˜
G = ˜
G si F = C.
On fixe des mesures de Haar sur tous les groupes qui interviennent. On définit
l’espace I
E
+ ( ˜
G(F ),ω) O,loc ⊂ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) O ˜
M comme dans le cas nonarchimédien mais on le note plutôt I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc . On note I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc
sa projection dans ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O ˜
G ,loc . Remarquons que ces espaces, ainsi
que les espaces non localisés I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) et I
E (K ˜
G(F ), ω), qui sont définis
comme sous-espaces de certains espaces topologiques, sont fermés dans ceux-ci.
On a un diagramme naturel de localisation
I
E
+ (K ˜
G(F ), ω)
→
I
E (K ˜
G(F ), ω)
↓
↓
I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc → I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc
qui est commutatif.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
(6) l’image de l’application
X
inv
( ˜
M,M )
= D
st
g´ eom (M
, O ˜
M )
Aut( ˜
M,M
)
→ X ( ˜
M,M ) ⊕ X G
δ
→
(δ, −δ
˜
G
).
La condition 4.11(3) fournit pour annulateur l’espace
(7) I
˜
G
˜
M (O ˜
M ) ⊂ X G ,
pour tout G
∈ E( ˜
G, a) et tout Levi M
de G
qui n’est pas relevant. Les espaces
(7) sont les mêmes qu’en 5.7(3). Les espaces (4) pour ˜
M = ˜
G ou (5) pour ˜
M = ˜
G
sont les mêmes qu’en 5.7(4). Ces espaces sont inclus dans X. Il reste à prouver
que l’intersection avec X de la somme des espaces (6) et (4) pour ˜
M = ˜
G est la
somme des espaces 5.7(5). Un élément de cette intersection est une somme sur
( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a), ˜
M = ˜
G, de termes
x ( ˜
M,M ) = δ
non-inv +
i=1,...,n
(δ i , −δ
G
i
i ),
où δ
non-inv
∈ X
non-inv
( ˜
M,M )
, δ i ∈ X
inv
( ˜
M,M )
pour tout i et où on a noté G
1 ,. . .,G
n
les éléments de E( ˜
G, a) dont M
est un Levi (ces termes ne sont pas forcément
distincts, cf. la remarque suivant 5.7(5)). Fixons ( ˜
M , M
) et projetons sur X ( ˜
M,M ) .
Cette projection doit être nulle. Cela entraîne que la projection de x ( ˜
M,M ) est
nulle. Avec les notations ci-dessus, on a δ
non-inv = 0 et
i=1,...,n δ i = 0. Alors
x ( ˜
M,M ) =
i=1,...,n−1
(δ 1 + · · · + δ i )
G
i+1 − (δ 1 + · · · + δ i )
G
i
qui appartient à la somme des espaces 5.7(5). La réciproque est claire. Cela achève
la preuve.
I.5.9 Preuve dans le cas archimédien
On suppose F = R ou C. Pour unifier les notations, on pose K ˜
G = ˜
G si F = C.
On fixe des mesures de Haar sur tous les groupes qui interviennent. On définit
l’espace I
E
+ ( ˜
G(F ),ω) O,loc ⊂ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI(M
) O ˜
M comme dans le cas nonarchimédien mais on le note plutôt I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc . On note I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc
sa projection dans ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O ˜
G ,loc . Remarquons que ces espaces, ainsi
que les espaces non localisés I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) et I
E (K ˜
G(F ), ω), qui sont définis
comme sous-espaces de certains espaces topologiques, sont fermés dans ceux-ci.
On a un diagramme naturel de localisation
I
E
+ (K ˜
G(F ), ω)
→
I
E (K ˜
G(F ), ω)
↓
↓
I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc → I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc
qui est commutatif.