I.5. Distributions «géométriques»
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Montrons que
(1) les flèches verticales de ce diagramme sont surjectives.
Il suffit de prouver que celle de gauche l’est.
On a une filtration sur I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) dont le gradué est décrit par 4.12(2).
En fait, on a prouvé que les inclusions de cette relation étaient des égalités. Le
même procédé définit une filtration sur I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc et on a
(2)
Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc ⊂ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI cusp (M
)
Aut( ˜
M,M
)
O ˜
M ,loc
.
Remarque. Cette description est facile à condition d’utiliser pour les espaces de
droite leur «deuxième» définition, cf. 5.4(3). Mais d’après la propriété 5.5(2), la
première définition convient aussi bien.
La flèche verticale de gauche est compatible aux filtrations et définit une
flèche
Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) → Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc .
D’après 4.12(2) (qui est une égalité) et 5.5(2), Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) s’envoie surjectivement sur le membre de droite de (2). Il en résulte que l’homomorphisme ci-dessus
entre gradués est surjectif. Donc la flèche verticale de gauche du diagramme est
aussi surjective.
Remarquons que ce raisonnement prouve aussi que (2) est une égalité.
Il y a un diagramme naturel de localisation
I(K ˜
G(F ), ω)
tr
→
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
)
↓
↓
I(K ˜
G(F ), ω) O,loc
tr loc
→ ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O G ,loc .
Grâce à (1) et à la proposition 4.11, l’image de tr loc est I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc . On a
(3) l’homomorphisme tr loc définit un homéomorphisme de
I(K ˜
G(F )) O,loc sur I
E (K ˜
G(F )) O,loc .
Preuve. L’homomorphisme tr se calcule par une formule explicite comme on en a
utilisé en 4.13. Il résulte de cette formule que tr est continue pourvu que les facteurs de transfert soient des fonctions C
∞ . Or cela résulte du lemme 2.8. Donc tr
est continue. Il en résulte que tr loc l’est aussi. Soit ϕ ˜
T ∈ I(K ˜
G(F ), ω). Supposons
que son image dans I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc soit nulle. L’élément tr(ϕ ˜
T ) a un développement infinitésimal nul en tout point correspondant à un élément de O. Par une
formule d’inversion généralisant 4.9(5) au cas non elliptique, la fonction ϕ ˜
T a ellemême un développement infinitésimal nul en tout élément de O. Donc son image
dans I(K ˜
G(F ), ω) O,loc est nulle. Cela prouve que tr loc est injectif. Donc tr loc est
une bijection continue de I(K ˜
G(F ), ω) O,loc sur I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc . Or ces deux
espaces sont des espaces de Fréchet. Une telle bijection est donc nécessairement
ouverte.
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Montrons que
(1) les flèches verticales de ce diagramme sont surjectives.
Il suffit de prouver que celle de gauche l’est.
On a une filtration sur I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) dont le gradué est décrit par 4.12(2).
En fait, on a prouvé que les inclusions de cette relation étaient des égalités. Le
même procédé définit une filtration sur I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc et on a
(2)
Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc ⊂ ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) SI cusp (M
)
Aut( ˜
M,M
)
O ˜
M ,loc
.
Remarque. Cette description est facile à condition d’utiliser pour les espaces de
droite leur «deuxième» définition, cf. 5.4(3). Mais d’après la propriété 5.5(2), la
première définition convient aussi bien.
La flèche verticale de gauche est compatible aux filtrations et définit une
flèche
Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) → Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc .
D’après 4.12(2) (qui est une égalité) et 5.5(2), Gr I
E (K ˜
G(F ), ω) s’envoie surjectivement sur le membre de droite de (2). Il en résulte que l’homomorphisme ci-dessus
entre gradués est surjectif. Donc la flèche verticale de gauche du diagramme est
aussi surjective.
Remarquons que ce raisonnement prouve aussi que (2) est une égalité.
Il y a un diagramme naturel de localisation
I(K ˜
G(F ), ω)
tr
→
⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
)
↓
↓
I(K ˜
G(F ), ω) O,loc
tr loc
→ ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
) O G ,loc .
Grâce à (1) et à la proposition 4.11, l’image de tr loc est I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc . On a
(3) l’homomorphisme tr loc définit un homéomorphisme de
I(K ˜
G(F )) O,loc sur I
E (K ˜
G(F )) O,loc .
Preuve. L’homomorphisme tr se calcule par une formule explicite comme on en a
utilisé en 4.13. Il résulte de cette formule que tr est continue pourvu que les facteurs de transfert soient des fonctions C
∞ . Or cela résulte du lemme 2.8. Donc tr
est continue. Il en résulte que tr loc l’est aussi. Soit ϕ ˜
T ∈ I(K ˜
G(F ), ω). Supposons
que son image dans I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc soit nulle. L’élément tr(ϕ ˜
T ) a un développement infinitésimal nul en tout point correspondant à un élément de O. Par une
formule d’inversion généralisant 4.9(5) au cas non elliptique, la fonction ϕ ˜
T a ellemême un développement infinitésimal nul en tout élément de O. Donc son image
dans I(K ˜
G(F ), ω) O,loc est nulle. Cela prouve que tr loc est injectif. Donc tr loc est
une bijection continue de I(K ˜
G(F ), ω) O,loc sur I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc . Or ces deux
espaces sont des espaces de Fréchet. Une telle bijection est donc nécessairement
ouverte.