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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Grâce à (3), l’application duale
tr
∗
loc : ⊕ G ∈E( ˜
G,a) D
st
g´ eom (G
, O ˜
G ) → D g´ eom (O, ω)
se quotiente en un isomorphisme de l’espace de départ quotienté par l’annulateur
de I
E (K ˜
G(F ), ω) O,loc sur l’espace d’arrivée. Il reste à prouver que cet annulateur
est la somme des espaces décrits avant l’énoncé de la proposition 5.7. Le même
raisonnement que dans le cas non-archimédien nous ramène à prouver que l’annulateur de I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc est la somme des espaces décrits en 5.8(4), (5),
(6) et (7). Notons Ann l’annulateur de I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) et Ann
? la somme de ces
espaces . L’espace I
E
+ (K ˜
G(F ), ω) O,loc est intersection finie de sous-espaces et Ann
?
n’est autre que la somme des annulateurs de ces sous-espaces. Mais, à cause de la
topologie, il n’est pas complètement évident que l’annulateur de l’intersection soit
la somme des annulateurs. On va le prouver.
Considérons d’abord le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. L’espace SI( ˜
G(F )) O,loc est inclus dans I
E ( ˜
G(F )) O,loc (il correspond à la
donnée maximale G). Restreinte à ce sous-espace, l’inclusion (2), dont on a prouvé
que c’était une égalité, donne une égalité
(4)
Gr SI( ˜
G(F )) O,loc = ⊕ M∈L SI cusp ( ˜
M (F ))
W (M)
O ˜
M ,loc ,
où L est un ensemble de représentants des classes de conjugaison de Levi. L’application naturelle du terme de gauche dans celui de droite est continue. Puisque
nos ensembles sont des espaces de Fréchet, c’est un homéomorphisme. Pour tout
Levi M , notons I
˜
G
˜
M
(O ˜
M ) l’image de l’homomorphisme
D
st
g´ eom (O ˜
M ) → D
st
g´ eom (O)
δ
→
δ
˜
G
Notons I
˜
G (O) la somme de ces espaces I
˜
G
˜
M
(O ˜
M ) pour M = G. On peut se limiter aux M ∈ L. Le fait que (4) soit un homéomorphisme implique que I
˜
G (O) est
l’annulateur dans D
st
g´ eom (O) du sous-espace SI cusp ( ˜
G) O,loc . Le même résultat vaut
pour tout Levi M . L’action du groupe W (M ) préserve I
˜
M (O ˜
M ). Fixons un supplémentaire D
st
g´ eom,cusp (O ˜
M ) de ce sous-espace, invariant par l’action de ce groupe,
notons I
˜
G
˜
M,cusp
(O ˜
M )
inv son image dans D
st
g´ eom (O) par l’application ci-dessus. Par
dualité, on déduit de (4) l’égalité
D
st
g´ eom (O) = ⊕ M∈L I
˜
G
˜
M,cusp
(O ˜
M )
inv .
Revenons au cas général. Ce que l’on vient de dire s’adapte aux espaces
SI(M
) pour ( ˜
M , M
) ∈ E + ( ˜
G, a), munis cette fois de l’action de Aut( ˜
M , M
). En
particulier, on fixe un sous-espace X ( ˜
M,M ),cusp ⊂ X ( ˜
M,M ) = D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ),
qui est un supplémentaire de la somme des espaces induits à partir de Levi propres