I.5. Distributions «géométriques»
141
de M
et qui est invariant par Aut( ˜
M , M
). On note X
inv
( ˜
M,M ),cusp
son sous-espace
des invariants par ce groupe. Cet espace s’identifie à celui des formes linéaires
continues sur SI cusp (M
)
Aut( ˜
M,M
)
O ˜
M ,loc
. Pour les mêmes raisons que ci-dessus, la bijection (2) est un isomorphisme. Par dualité, on en déduit que le sous-espace
X ++ = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) X
inv
( ˜
M,M ),cusp
⊂ X + = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) X ( ˜
M,M )
s’identifie par restriction à l’espace des formes linéaires continues sur
I
E
+ (K ˜
G(F )) O,loc .
En particulier Ann ∩X ++ = {0}. Il est clair que Ann
? est inclus dans Ann. Pour
prouver que cette inclusion est une égalité, il suffit de prouver que X + = X ++ +
Ann
? . On démontre par récurrence descendante sur le corang de ˜
M que X ( ˜
M,M )
est inclus dans X ++ + Ann
? . Fixons ( ˜
M, M
). L’espace X ( ˜
M,M ) est somme de
X
inv
( ˜
M,M ),cusp
, de son supplémentaire X
non-inv
( ˜
M,M ),cusp
conservé par Aut( ˜
M , M
) dans
X ( ˜
M,M ),cusp et des sous-espaces obtenus par induction à partir de Levi propres
de M
. Le premier espace X
inv
( ˜
M,M ),cusp
est contenu dans X ++ .
Le deuxième X
non-inv
( ˜
M,M ),cusp
est inclus dans Ann
? (5.8(4)). Fixons un Levi
propre R
⊂ M
et des données auxiliaires pour M
. Soit δ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F ),O ˜
R ).
On veut prouver que son image δ
˜
M
par induction appartient à X ++ + Ann
? . Supposons d’abord R
relevant. Il lui est associé un élément ( ˜
R, R
) ∈ E + ( ˜
G, a) et
δ s’identifie à un élément de D
st
g´ eom (R
, O ˜
R ). Fixons G
∈ E( ˜
G, a) dont un Levi
s’identifie à M
. En utilisant 5.8 (5) et (6) pour ( ˜
M , M
) et pour ( ˜
R, R
), on voit
que les deux éléments δ
˜
M
− (δ
˜
M
)
˜
G
et δ − δ
˜
G
appartiennent à Ann
? . Par transitivité de l’induction, (δ
˜
M
)
˜
G
= δ
˜
G
. Donc δ − δ
˜
M
∈ X ++ + Ann
? . Par hypothèse
de récurrence, δ appartient à X ++ +Ann
? . Donc aussi δ
˜
M
. Supposons maintenant
R
non relevant. On a de nouveau δ
˜
M
− δ
˜
G
∈ X ++ + Ann
? . Mais δ
˜
G
appartient
à Ann
? (5.8 (7)). Donc δ
˜
M
∈ X ++ + Ann
? . Cela achève la preuve.
I.5.10 Localisation
Fixons un élément semi-simple η ∈ ˜
G(F ) et un voisinage u de 0 dans g η (F )
ayant les mêmes propriétés qu’en 4.1. Avec les notations de ce paragraphe (et en
rétablissant les espaces de mesures), on a défini une application
desc
˜
G
η : I( ˜
U , ω) ⊗ Mes(G(F )) → I(U η , ω) ⊗ Mes(G η (F )).
Il s’en déduit une application duale entre espaces de distributions. Pour s’affranchir
de l’ensemble u qui complique les notations, nous noterons
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗
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de M
et qui est invariant par Aut( ˜
M , M
). On note X
inv
( ˜
M,M ),cusp
son sous-espace
des invariants par ce groupe. Cet espace s’identifie à celui des formes linéaires
continues sur SI cusp (M
)
Aut( ˜
M,M
)
O ˜
M ,loc
. Pour les mêmes raisons que ci-dessus, la bijection (2) est un isomorphisme. Par dualité, on en déduit que le sous-espace
X ++ = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) X
inv
( ˜
M,M ),cusp
⊂ X + = ⊕ ( ˜
M,M )∈E+( ˜
G,a) X ( ˜
M,M )
s’identifie par restriction à l’espace des formes linéaires continues sur
I
E
+ (K ˜
G(F )) O,loc .
En particulier Ann ∩X ++ = {0}. Il est clair que Ann
? est inclus dans Ann. Pour
prouver que cette inclusion est une égalité, il suffit de prouver que X + = X ++ +
Ann
? . On démontre par récurrence descendante sur le corang de ˜
M que X ( ˜
M,M )
est inclus dans X ++ + Ann
? . Fixons ( ˜
M, M
). L’espace X ( ˜
M,M ) est somme de
X
inv
( ˜
M,M ),cusp
, de son supplémentaire X
non-inv
( ˜
M,M ),cusp
conservé par Aut( ˜
M , M
) dans
X ( ˜
M,M ),cusp et des sous-espaces obtenus par induction à partir de Levi propres
de M
. Le premier espace X
inv
( ˜
M,M ),cusp
est contenu dans X ++ .
Le deuxième X
non-inv
( ˜
M,M ),cusp
est inclus dans Ann
? (5.8(4)). Fixons un Levi
propre R
⊂ M
et des données auxiliaires pour M
. Soit δ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F ),O ˜
R ).
On veut prouver que son image δ
˜
M
par induction appartient à X ++ + Ann
? . Supposons d’abord R
relevant. Il lui est associé un élément ( ˜
R, R
) ∈ E + ( ˜
G, a) et
δ s’identifie à un élément de D
st
g´ eom (R
, O ˜
R ). Fixons G
∈ E( ˜
G, a) dont un Levi
s’identifie à M
. En utilisant 5.8 (5) et (6) pour ( ˜
M , M
) et pour ( ˜
R, R
), on voit
que les deux éléments δ
˜
M
− (δ
˜
M
)
˜
G
et δ − δ
˜
G
appartiennent à Ann
? . Par transitivité de l’induction, (δ
˜
M
)
˜
G
= δ
˜
G
. Donc δ − δ
˜
M
∈ X ++ + Ann
? . Par hypothèse
de récurrence, δ appartient à X ++ +Ann
? . Donc aussi δ
˜
M
. Supposons maintenant
R
non relevant. On a de nouveau δ
˜
M
− δ
˜
G
∈ X ++ + Ann
? . Mais δ
˜
G
appartient
à Ann
? (5.8 (7)). Donc δ
˜
M
∈ X ++ + Ann
? . Cela achève la preuve.
I.5.10 Localisation
Fixons un élément semi-simple η ∈ ˜
G(F ) et un voisinage u de 0 dans g η (F )
ayant les mêmes propriétés qu’en 4.1. Avec les notations de ce paragraphe (et en
rétablissant les espaces de mesures), on a défini une application
desc
˜
G
η : I( ˜
U , ω) ⊗ Mes(G(F )) → I(U η , ω) ⊗ Mes(G η (F )).
Il s’en déduit une application duale entre espaces de distributions. Pour s’affranchir
de l’ensemble u qui complique les notations, nous noterons
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗