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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
cette application duale, étant entendue qu’elle n’est définie que pour des distributions dont le support dans G η (F ) est assez voisin de 1. Notons O la classe de
conjugaison de η dans ˜
G(F ). On a défini l’espace D g´ eom (O, ω). En appliquant la
même définition en remplaçant ˜
G par G η et O par la classe de conjugaison réduite
à {1}, on obtient un espace que l’on note plutôt D unip (G η (F ), ω). L’application
ci-dessus se restreint en une application surjective
desc
˜
G,∗
η
: D unip (G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Plus précisément, cette application se factorise en
D unip (G η (F ), ω) ⊗ Mes(G η (F ))
∗ pη
→D unip (G η (F ), ω)
ZG(η;F )
⊗ Mes(G η (F ))
∗
desc
˜
G,∗
η
D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ ,
où p η est la projection naturelle sur l’espace des invariants (rappelons que l’action
naturelle de Z G (η; F ) tient compte du caractère ω).
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On considère un
élément semi-simple η ∈ ˜
G(F ) tel que G η soit quasi-déployé. On note O sa classe
de conjugaison stable et on pose Ξ η = Z G (η)/G η . On a de même une application
linéaire
desc
st, ˜
G,∗
η
: D
st
g´ eom (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
→ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Elle se restreint en une application
D
st
unip (G η (F )) ⊗ Mes(G η (F ))
∗
p
st
η
→D
st
unip (G η (F ))
Ξ
Γ F
η
⊗ Mes(G η (F ))
∗
desc
st, ˜
G,∗
η
D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Attention. L’application desc
st, ˜
G,∗
η
n’est pas la restriction de desc
˜
G,∗
η
à l’espace des
distributions stables. La preuve du lemme 4.8 fournit la relation entre ces deux
applications. On a
desc
st, ˜
G,∗
η
=
y∈ ˙
Y(η)
desc
˜
G,∗
η[y] ◦ transfert y ,
où transfert y : D
st
g´ eom (G η (F )) → D g´ eom (G η[y] (F )) est le transfert déduit du torseur
intérieur ad y : G η[y] → G η .
I.5.11 Induction et classes de conjugaison stable
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et η un élément semi-simple de ˜
M (F ). On a
défini le groupe I η et l’ensemble Y(η) en 4.4. En remplaçant ˜
G par ˜
M , on définit
de même un groupe et un ensemble que l’on note I
M
η et Y
M (η). Remarquons que
(1)
I
M
η = I η ∩ M.