I.5. Distributions «géométriques»
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Preuve. On a l’égalité Z(M )
θ = Z(M )
θ,0 Z(G)
θ et l’inclusion Z(M )
θ,0
⊂ M η .
Donc I
M
η = Z(M )
θ M η = Z(G)
θ M η ⊂ I η ∩ M . L’inclusion opposée provient de
l’égalité G η ∩ M = M η .
Il résulte de (1) que Y
M (η) = Y(η) ∩ M . On en déduit une application
naturelle
(2)
I
M
η \Y
M (η)/M (F ) → I η \Y(η)/G(F ).
On note Y
M (η) et Y(η) les ensembles de doubles classes ci-dessus.
Lemme. L’application (2) est injective. Pour y ∈ Y(η), l’image de y dans Y(η)
appartient à l’image de cette application si et seulement si le Levi M η de G η se
transfère par le torseur intérieur ad y −1 en un Levi de G η[y] . Plus précisément, soit
y ∈ Y(η) dont l’image dans Y(η) n’appartient pas à l’image de (2). Soit T un
sous-tore maximal de M η défini sur F . Alors le tore T ne se transfère pas par le
torseur intérieur ad y −1 en un sous-tore maximal de G η[y] défini sur F .
Preuve. Soient y, y
∈ Y
M (η) dont les images dans Y(η) sont égales. On doit
prouver que leurs images dans Y
M (η) le sont aussi. L’élément (y
)
−1 y appartient
à Y
M (η[y
]). Son image dans Y(η[y
]) est égale à celle de 1. On vérifie qu’il suffit
de prouver que les images de (y
)
−1 y et de 1 dans Y
M (η[y
]) sont égales. Quitte
à remplacer η par η[y
], on est ramené au problème initial avec cette fois y
= 1.
A y, on associe le cocycle σ → yσ(y)
−1 de Γ F dans I
M
η . L’hypothèse signifie que
ce cocycle, poussé en un cocycle à valeurs dans I η est un cobord. La conclusion
est que ce cocycle lui-même est un cobord. Il suffit de prouver que le noyau K de
l’application
H
1 (Γ F ; I
M
η ) → H
1 (Γ F ; I η )
est réduit à {1}. Remarquons que, dans le cas où F est archimédien, les ensembles ci-dessus ne sont pas des groupes. Le noyau est l’ensemble des éléments
de H
1 (Γ F ; I
M
η ) qui s’envoient sur l’élément trivial de H
1 (Γ F ; I η ). Le centre Z(I η )
de I η est égal à Z(G)
θ Z(G η ) et on a un diagramme commutatif
H
1 (Γ F ; Z(I η )) → H
1 (Γ F ; I η ) → H
1 (Γ F ; G η,AD )
↑
↑
H
1 (Γ F ; Z(I η )) → H
1 (Γ F ; I
M
η ) → H
1 (Γ F ; M η,ad ) .
Les suites horizontales sont exactes. Parce que M η,ad est un Levi de G η,AD , la dernière flèche verticale est injective. Il en résulte que K est l’image dans H
1 (Γ F ; I
M
η )
du noyau C de l’application H
1 (Γ F ; Z(I η )) → H
1 (Γ F ; I η ). Un élément c ∈ C est
un cocycle de la forme σ → c(σ) = xσ(x)
−1 , où x est un élément de I η dont
l’image x ad dans G η,AD appartient à G η,AD (F ). Notons π ad : G η → G η,AD la
projection naturelle. Puisque M η,ad est un Levi de G η,AD , la projection naturelle
M η,ad (F ) → G η,AD (F )/π ad (G η (F )) est surjective. Quitte à multiplier x à droite
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Preuve. On a l’égalité Z(M )
θ = Z(M )
θ,0 Z(G)
θ et l’inclusion Z(M )
θ,0
⊂ M η .
Donc I
M
η = Z(M )
θ M η = Z(G)
θ M η ⊂ I η ∩ M . L’inclusion opposée provient de
l’égalité G η ∩ M = M η .
Il résulte de (1) que Y
M (η) = Y(η) ∩ M . On en déduit une application
naturelle
(2)
I
M
η \Y
M (η)/M (F ) → I η \Y(η)/G(F ).
On note Y
M (η) et Y(η) les ensembles de doubles classes ci-dessus.
Lemme. L’application (2) est injective. Pour y ∈ Y(η), l’image de y dans Y(η)
appartient à l’image de cette application si et seulement si le Levi M η de G η se
transfère par le torseur intérieur ad y −1 en un Levi de G η[y] . Plus précisément, soit
y ∈ Y(η) dont l’image dans Y(η) n’appartient pas à l’image de (2). Soit T un
sous-tore maximal de M η défini sur F . Alors le tore T ne se transfère pas par le
torseur intérieur ad y −1 en un sous-tore maximal de G η[y] défini sur F .
Preuve. Soient y, y
∈ Y
M (η) dont les images dans Y(η) sont égales. On doit
prouver que leurs images dans Y
M (η) le sont aussi. L’élément (y
)
−1 y appartient
à Y
M (η[y
]). Son image dans Y(η[y
]) est égale à celle de 1. On vérifie qu’il suffit
de prouver que les images de (y
)
−1 y et de 1 dans Y
M (η[y
]) sont égales. Quitte
à remplacer η par η[y
], on est ramené au problème initial avec cette fois y
= 1.
A y, on associe le cocycle σ → yσ(y)
−1 de Γ F dans I
M
η . L’hypothèse signifie que
ce cocycle, poussé en un cocycle à valeurs dans I η est un cobord. La conclusion
est que ce cocycle lui-même est un cobord. Il suffit de prouver que le noyau K de
l’application
H
1 (Γ F ; I
M
η ) → H
1 (Γ F ; I η )
est réduit à {1}. Remarquons que, dans le cas où F est archimédien, les ensembles ci-dessus ne sont pas des groupes. Le noyau est l’ensemble des éléments
de H
1 (Γ F ; I
M
η ) qui s’envoient sur l’élément trivial de H
1 (Γ F ; I η ). Le centre Z(I η )
de I η est égal à Z(G)
θ Z(G η ) et on a un diagramme commutatif
H
1 (Γ F ; Z(I η )) → H
1 (Γ F ; I η ) → H
1 (Γ F ; G η,AD )
↑
↑
H
1 (Γ F ; Z(I η )) → H
1 (Γ F ; I
M
η ) → H
1 (Γ F ; M η,ad ) .
Les suites horizontales sont exactes. Parce que M η,ad est un Levi de G η,AD , la dernière flèche verticale est injective. Il en résulte que K est l’image dans H
1 (Γ F ; I
M
η )
du noyau C de l’application H
1 (Γ F ; Z(I η )) → H
1 (Γ F ; I η ). Un élément c ∈ C est
un cocycle de la forme σ → c(σ) = xσ(x)
−1 , où x est un élément de I η dont
l’image x ad dans G η,AD appartient à G η,AD (F ). Notons π ad : G η → G η,AD la
projection naturelle. Puisque M η,ad est un Levi de G η,AD , la projection naturelle
M η,ad (F ) → G η,AD (F )/π ad (G η (F )) est surjective. Quitte à multiplier x à droite