144
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
par un élément de G η (F ), on peut donc supposer x ad ∈ M η,ad (F ). Alors x ∈ I
M
η
et l’image du cocycle c dans H
1 (Γ F ; I
M
η ) est un bord. Cela démontre que l’image
K de C dans H
1 (Γ F ; I
M
η ) est réduite à {1}, d’où l’injectivité de l’application (2).
Pour y ∈ Y
M (η), l’image de M η par ad y −1 est M η[y] . C’est un Levi de G η[y])
(c’est-à-dire qu’il est défini sur F ) et M η se transfère en un tel Levi. Il en résulte
plus généralement que, pour y ∈ Y(η), si l’image de y dans Y(η) appartient à
l’image de l’application (2), le Levi M η de G η se transfère par le torseur intérieur
ad y −1 en un Levi de G η[y] . Soit maintenant y ∈ Y(η) et T un sous-tore maximal
de M η . Supposons que T se transfère par ad y −1 en un sous-tore maximal de G η[y]
défini sur F . Cela signifie que, quitte à multiplier à gauche y par un élément de
G η , le tore T y = ad y −1 (T ) est défini sur F et la restriction ad y −1 : T → T y est
équivariante pour les actions galoisiennes. Il en résulte que ad y −1 se restreint en
un isomorphisme défini sur F de A T sur A Ty . Notons ˜
R et ˜
R y les commutants de
A T et A Ty dans ˜
G. Fixons un élément x ∗ en position générale dans X ∗ (A T ). Il
détermine un espace parabolique ˜
S ∈ P( ˜
R) : A T agit dans u S par des caractères
α tels que α, x ∗ > 0. A ad y −1 (x ∗ ) est de même associé un espace parabolique
˜
S y ∈ P( ˜
R y ). Alors ad y −1 envoie la paire ( ˜
S, ˜
R) sur ( ˜
S y , ˜
R y ). On sait que deux telles
paires définies sur F qui sont conjuguées par un élément de G( ¯
F ) le sont aussi
par un élément de G(F ). Quitte à multiplier y à droite par un élément de G(F ),
on peut donc supposer que les deux paires paraboliques sont égales. Cela entraîne
y ∈ R. Mais A ˜
M ⊂ A Mη ⊂ A T ⊂ A ˜
R , donc R ⊂ M et y ∈ Y(η)∩M = Y
M (η). Cela
démontre la dernière assertion de l’énoncé. Enfin, soit y ∈ Y(η), supposons que
M η se transfère par le torseur intérieur ad y −1 en un Levi M y de G η[y] . On choisit
un tore maximal T de M η , défini sur F et elliptique si F est non-archimédien,
resp. fondamental si F est archimédien. Alors T se transfère en un tore maximal
défini sur F de M y , a fortiori de G η[y] . D’après ce que l’on vient de démontrer,
l’image de y dans Y(η) appartient à l’image de l’application (2). Cela achève la
preuve.
I.5.12 Un résultat de réduction
On conserve la même situation. On note O la classe de conjugaison stable de η dans
˜
M (F ) et O
˜
G sa classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ). Remarquons qu’en général,
O est plus petit que l’intersection O
˜
G
∩ ˜
M (F ). Notons N le groupe des x ∈ G(F )
tels que ad x conserve ˜
M et O. Ce groupe agit naturellement sur D g´ eom (O, ω) via
son quotient fini N/M (F ). On note p N la projection naturelle sur le sous-espace
des invariants par N . Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, N agit
aussi sur D
st
g´ eom (O). On note p
st
N la projection sur le sous-espace des invariants
Lemme. On suppose G η = M η et A ˜
M = A Mη .
(i) L’application (2) de 5.11 est bijective.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
par un élément de G η (F ), on peut donc supposer x ad ∈ M η,ad (F ). Alors x ∈ I
M
η
et l’image du cocycle c dans H
1 (Γ F ; I
M
η ) est un bord. Cela démontre que l’image
K de C dans H
1 (Γ F ; I
M
η ) est réduite à {1}, d’où l’injectivité de l’application (2).
Pour y ∈ Y
M (η), l’image de M η par ad y −1 est M η[y] . C’est un Levi de G η[y])
(c’est-à-dire qu’il est défini sur F ) et M η se transfère en un tel Levi. Il en résulte
plus généralement que, pour y ∈ Y(η), si l’image de y dans Y(η) appartient à
l’image de l’application (2), le Levi M η de G η se transfère par le torseur intérieur
ad y −1 en un Levi de G η[y] . Soit maintenant y ∈ Y(η) et T un sous-tore maximal
de M η . Supposons que T se transfère par ad y −1 en un sous-tore maximal de G η[y]
défini sur F . Cela signifie que, quitte à multiplier à gauche y par un élément de
G η , le tore T y = ad y −1 (T ) est défini sur F et la restriction ad y −1 : T → T y est
équivariante pour les actions galoisiennes. Il en résulte que ad y −1 se restreint en
un isomorphisme défini sur F de A T sur A Ty . Notons ˜
R et ˜
R y les commutants de
A T et A Ty dans ˜
G. Fixons un élément x ∗ en position générale dans X ∗ (A T ). Il
détermine un espace parabolique ˜
S ∈ P( ˜
R) : A T agit dans u S par des caractères
α tels que α, x ∗ > 0. A ad y −1 (x ∗ ) est de même associé un espace parabolique
˜
S y ∈ P( ˜
R y ). Alors ad y −1 envoie la paire ( ˜
S, ˜
R) sur ( ˜
S y , ˜
R y ). On sait que deux telles
paires définies sur F qui sont conjuguées par un élément de G( ¯
F ) le sont aussi
par un élément de G(F ). Quitte à multiplier y à droite par un élément de G(F ),
on peut donc supposer que les deux paires paraboliques sont égales. Cela entraîne
y ∈ R. Mais A ˜
M ⊂ A Mη ⊂ A T ⊂ A ˜
R , donc R ⊂ M et y ∈ Y(η)∩M = Y
M (η). Cela
démontre la dernière assertion de l’énoncé. Enfin, soit y ∈ Y(η), supposons que
M η se transfère par le torseur intérieur ad y −1 en un Levi M y de G η[y] . On choisit
un tore maximal T de M η , défini sur F et elliptique si F est non-archimédien,
resp. fondamental si F est archimédien. Alors T se transfère en un tore maximal
défini sur F de M y , a fortiori de G η[y] . D’après ce que l’on vient de démontrer,
l’image de y dans Y(η) appartient à l’image de l’application (2). Cela achève la
preuve.
I.5.12 Un résultat de réduction
On conserve la même situation. On note O la classe de conjugaison stable de η dans
˜
M (F ) et O
˜
G sa classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ). Remarquons qu’en général,
O est plus petit que l’intersection O
˜
G
∩ ˜
M (F ). Notons N le groupe des x ∈ G(F )
tels que ad x conserve ˜
M et O. Ce groupe agit naturellement sur D g´ eom (O, ω) via
son quotient fini N/M (F ). On note p N la projection naturelle sur le sous-espace
des invariants par N . Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, N agit
aussi sur D
st
g´ eom (O). On note p
st
N la projection sur le sous-espace des invariants
Lemme. On suppose G η = M η et A ˜
M = A Mη .
(i) L’application (2) de 5.11 est bijective.