I.5. Distributions «géométriques»
145
(ii) La restriction à D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ de l’application d’induction de
˜
M à ˜
G se factorise en
D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
pN
→ D g´ eom (O, ω)
N
⊗ Mes(M (F ))
∗
D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
(iii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. La restriction à
D
st
g´ eom (O, ω)⊗Mes(M (F ))
∗ de l’application d’induction de ˜
M à ˜
G se factorise
en
D
st
g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
p
st
N
→ D
st
g´ eom (O, ω)
N
⊗ Mes(M (F ))
∗
D
st
g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Preuve. L’hypothèse G η = M η entraîne I η = I
M
η . Un élément y ∈ Y(η) définit un
cocycle σ → yσ(y)
−1 à valeurs dans I
M
η dont l’image dans H
1 (Γ F ; G) est triviale.
Mais l’application H
1 (Γ F ; M ) → H
1 (Γ F ; G) est injective. Donc l’image du cocycle
ci-dessus dans H
1 (Γ F ; M ) est triviale. Cela signifie que l’on peut écrire y = y
g,
avec g ∈ G(F ) et y
∈ M . Nécessairement, y
∈ Y
M (η), donc l’image dans Y(η)
de y appartient à l’image de l’application (2) de 5.11. D’où la surjectivité de cette
application et sa bijectivité d’après le lemme précédent.
Introduisons le groupe Z η = Z G (η) ∩ Y(η) et son quotient Z η = Z η /I η . Le
groupe Z η agit sur Y(η) par multiplication à gauche. On vérifie que l’ensemble de
doubles classes
X (η) = Z η \Y(η)/G(F )
paramètre les classes de conjugaison par G(F ) dans O
˜
G . En remplaçant ˜
G par ˜
M ,
on a de même un ensemble
X
M (η) = Z
M
η \Y
M (η)/M (F )
qui paramètre les classes de conjugaison par M (F ) dans O. L’assertion (i) déjà
prouvée entraîne que l’application naturelle
X
M (η) → X (η)
est surjective. On peut donc fixer un ensemble de représentants ˙
X (η) de X (η)
qui est inclus dans Y
M (η). Fixons aussi un ensemble de représentants ˙
X
M (η) de
X
M (η). L’application précédente devient une application surjective
q : ˙
X
M (η) → ˙
X (η).
Pour tout y ∈ ˙
X
M (η), on fixe z y ∈ Z η et g y ∈ G(F ) tels que y = z y q(y)g y . Remarquons que, pour un élément y de l’un ou l’autre de ces ensembles, les égalités
G η = M η et A ˜
M = A Mη et le fait que y ∈ M entraînent que G η[y] = M η[y] et A ˜
M =
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(ii) La restriction à D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ de l’application d’induction de
˜
M à ˜
G se factorise en
D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
pN
→ D g´ eom (O, ω)
N
⊗ Mes(M (F ))
∗
D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
(iii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. La restriction à
D
st
g´ eom (O, ω)⊗Mes(M (F ))
∗ de l’application d’induction de ˜
M à ˜
G se factorise
en
D
st
g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
p
st
N
→ D
st
g´ eom (O, ω)
N
⊗ Mes(M (F ))
∗
D
st
g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Preuve. L’hypothèse G η = M η entraîne I η = I
M
η . Un élément y ∈ Y(η) définit un
cocycle σ → yσ(y)
−1 à valeurs dans I
M
η dont l’image dans H
1 (Γ F ; G) est triviale.
Mais l’application H
1 (Γ F ; M ) → H
1 (Γ F ; G) est injective. Donc l’image du cocycle
ci-dessus dans H
1 (Γ F ; M ) est triviale. Cela signifie que l’on peut écrire y = y
g,
avec g ∈ G(F ) et y
∈ M . Nécessairement, y
∈ Y
M (η), donc l’image dans Y(η)
de y appartient à l’image de l’application (2) de 5.11. D’où la surjectivité de cette
application et sa bijectivité d’après le lemme précédent.
Introduisons le groupe Z η = Z G (η) ∩ Y(η) et son quotient Z η = Z η /I η . Le
groupe Z η agit sur Y(η) par multiplication à gauche. On vérifie que l’ensemble de
doubles classes
X (η) = Z η \Y(η)/G(F )
paramètre les classes de conjugaison par G(F ) dans O
˜
G . En remplaçant ˜
G par ˜
M ,
on a de même un ensemble
X
M (η) = Z
M
η \Y
M (η)/M (F )
qui paramètre les classes de conjugaison par M (F ) dans O. L’assertion (i) déjà
prouvée entraîne que l’application naturelle
X
M (η) → X (η)
est surjective. On peut donc fixer un ensemble de représentants ˙
X (η) de X (η)
qui est inclus dans Y
M (η). Fixons aussi un ensemble de représentants ˙
X
M (η) de
X
M (η). L’application précédente devient une application surjective
q : ˙
X
M (η) → ˙
X (η).
Pour tout y ∈ ˙
X
M (η), on fixe z y ∈ Z η et g y ∈ G(F ) tels que y = z y q(y)g y . Remarquons que, pour un élément y de l’un ou l’autre de ces ensembles, les égalités
G η = M η et A ˜
M = A Mη et le fait que y ∈ M entraînent que G η[y] = M η[y] et A ˜
M =