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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
A M η[y] . On pose D[y] = D unip (M η[y] , ω) et on note ζ y : D[y] → D[y]
ZG(η[y];F ) la
projection naturelle. En oubliant pour simplifier les espaces de mesures, la description de 5.10 fournit des isomorphismes
D g´ eom (O, ω) = ⊕ y∈ ˙
X M (η) D[y]
ZM (η[y];F ) ,
D g´ eom (O
˜
G , ω) = ⊕ y∈ ˙
X (η) D[y]
ZG(η[y];F ) .
Modulo ces isomorphismes, l’application d’induction se décrit de la façon suivante. A
(d y ) y∈ ˙
X M (η) ∈ ⊕ y∈ ˙
X M (η) D[y]
ZM (η[y];F ) ,
elle associe (d
y ) y ∈ ˙
X (η) ∈ ⊕ y ∈ ˙
X (η) D[y]
ZG(η[y];F ) , où
d
y = ζ y
y∈q −1 (y )
ω(g y )
−1 ad gy (d y )
.
On voit que cette application est surjective. D’autre part, l’application d’induction
est insensible à l’action par conjugaison (tordue par le caractère ω) de tout élément
de G(F ) conservant ˜
M . Elle se factorise donc par la projection p N . Pour obtenir
(ii), il reste à prouver que l’application d’induction
D g´ eom (O, ω)
N
→ D g´ eom (O
˜
G , ω)
est injective. A l’aide de la description ci-dessus, cela résulte de la propriété suivante. Soit (d y ) y∈ ˙
X M (η) ∈ ⊕ y∈ ˙
X M (η) D[y]
ZM (η[y];F ) . Supposons cet élément invariant par N . Soit y
∈ ˙
X (η). Alors
(1) l’élément ω(g y )
−1 ad gy (d y ) est indépendant de y ∈ q
−1 (y
) et il est invariant par Z G (η[y
]; F ).
On ne perd rien à supposer que y
= 1 et que 1 appartient à q
−1 (1). Soit
y ∈ q
−1 (1). Alors ad gy (η[y]) = η, donc aussi ad gy (G η[y] ) = G η . Puisque g ∈
G(F ), ad gy envoie A G η[y] sur A Gη . Mais ces deux tores sont égaux à A ˜
M . Donc
ad gy conserve A ˜
M et aussi son commutant ˜
M . Puisque ad gy envoie η[y] sur η, il
conserve la classe de conjugaison stable commune O de ces deux éléments. Donc
g y ∈ N . L’hypothèse d’invariance par N entraîne l’égalité ω(g y )
−1 ad gy (d y ) = d 1 ,
d’où la première assertion de (1). Le même argument que ci-dessus montre que
Z G (η; F ) ⊂ N . L’hypothèse d’invariance par N entraîne que d 1 est invariant par
Z G (η; F ). Cela démontre (1) et le (ii) de la proposition.
Pour le (iii), quitte à changer l’élément η de O, on peut supposer G η quasidéployé. La description de 5.10 identifie
D
st
g´ eom (O
˜
G ) à D
st
unip (M η (F ))
Ξ
Γ F
η
et D
st
g´ eom (O) à D
st
unip (M η (F ))
Ξ
M,Γ F
η
.
L’application d’induction n’est autre que la projection sur l’espace d’invariants par
Ξ
ΓF
η . Elle est surjective. De nouveau, cette application se factorise par p
st
N et il reste
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
A M η[y] . On pose D[y] = D unip (M η[y] , ω) et on note ζ y : D[y] → D[y]
ZG(η[y];F ) la
projection naturelle. En oubliant pour simplifier les espaces de mesures, la description de 5.10 fournit des isomorphismes
D g´ eom (O, ω) = ⊕ y∈ ˙
X M (η) D[y]
ZM (η[y];F ) ,
D g´ eom (O
˜
G , ω) = ⊕ y∈ ˙
X (η) D[y]
ZG(η[y];F ) .
Modulo ces isomorphismes, l’application d’induction se décrit de la façon suivante. A
(d y ) y∈ ˙
X M (η) ∈ ⊕ y∈ ˙
X M (η) D[y]
ZM (η[y];F ) ,
elle associe (d
y ) y ∈ ˙
X (η) ∈ ⊕ y ∈ ˙
X (η) D[y]
ZG(η[y];F ) , où
d
y = ζ y
y∈q −1 (y )
ω(g y )
−1 ad gy (d y )
.
On voit que cette application est surjective. D’autre part, l’application d’induction
est insensible à l’action par conjugaison (tordue par le caractère ω) de tout élément
de G(F ) conservant ˜
M . Elle se factorise donc par la projection p N . Pour obtenir
(ii), il reste à prouver que l’application d’induction
D g´ eom (O, ω)
N
→ D g´ eom (O
˜
G , ω)
est injective. A l’aide de la description ci-dessus, cela résulte de la propriété suivante. Soit (d y ) y∈ ˙
X M (η) ∈ ⊕ y∈ ˙
X M (η) D[y]
ZM (η[y];F ) . Supposons cet élément invariant par N . Soit y
∈ ˙
X (η). Alors
(1) l’élément ω(g y )
−1 ad gy (d y ) est indépendant de y ∈ q
−1 (y
) et il est invariant par Z G (η[y
]; F ).
On ne perd rien à supposer que y
= 1 et que 1 appartient à q
−1 (1). Soit
y ∈ q
−1 (1). Alors ad gy (η[y]) = η, donc aussi ad gy (G η[y] ) = G η . Puisque g ∈
G(F ), ad gy envoie A G η[y] sur A Gη . Mais ces deux tores sont égaux à A ˜
M . Donc
ad gy conserve A ˜
M et aussi son commutant ˜
M . Puisque ad gy envoie η[y] sur η, il
conserve la classe de conjugaison stable commune O de ces deux éléments. Donc
g y ∈ N . L’hypothèse d’invariance par N entraîne l’égalité ω(g y )
−1 ad gy (d y ) = d 1 ,
d’où la première assertion de (1). Le même argument que ci-dessus montre que
Z G (η; F ) ⊂ N . L’hypothèse d’invariance par N entraîne que d 1 est invariant par
Z G (η; F ). Cela démontre (1) et le (ii) de la proposition.
Pour le (iii), quitte à changer l’élément η de O, on peut supposer G η quasidéployé. La description de 5.10 identifie
D
st
g´ eom (O
˜
G ) à D
st
unip (M η (F ))
Ξ
Γ F
η
et D
st
g´ eom (O) à D
st
unip (M η (F ))
Ξ
M,Γ F
η
.
L’application d’induction n’est autre que la projection sur l’espace d’invariants par
Ξ
ΓF
η . Elle est surjective. De nouveau, cette application se factorise par p
st
N et il reste