I.5. Distributions «géométriques»
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à prouver que cette application d’induction est injective sur D
st
g´ eom (O, ω)
N . Mais
on vient de prouver qu’elle était injective sur l’espace plus gros D g´ eom (O, ω)
N .
D’où l’assertion, ce qui achève la démonstration.
I.5.13 Induction et stabilité
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient ˜
M un espace
de Levi de ˜
G et (O j ) j=1,...,k une famille finie de classes de conjugaison stable
semi-simples dans ˜
M (F ). Rappelons que l’on note γ → γ
˜
G l’homomorphisme
d’induction de D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ dans D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Lemme. Soit γ ∈
j=1,...,k D g´ eom (O j ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Supposons que γ
˜
G soit
stable. Alors il existe δ ∈
j=1,...,k D
st
g´ eom (O j ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ telle que δ
˜
G = γ
˜
G .
Preuve. On fixe des mesures de Haar pour se débarrasser des espaces de mesures. Pour tout j, notons O
˜
G
j la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ) qui
contient O j . On peut regrouper les classes O j selon ces classes O
˜
G
j . C’est-àdire que l’on peut fixer une famille (O
l ) l=1,...,m de classes de conjugaison stable
semi-simples dans ˜
G(F ), distinctes deux-à-deux, et une application surjective
q : {1, . . . , k} → {1, . . . , m} de sorte que O
˜
G
j = O
q(j) pour tout j = 1, . . . , k. On
peut écrire γ =
l=1,...,m γ l , avec γ l ∈
j∈q −1 (l) D g´ eom (O j ). Alors
l=1,...,m γ
˜
G
l
est stable. Mais les distributions γ
˜
G
l sont supportées par des classes de conjugaison
stable distinctes. Il résulte des constructions de 4.6 qu’alors, chaque γ
˜
G
l est stable.
Pour résoudre notre problème, il suffit de trouver pour chaque l une distribution
δ l ∈
j∈q −1 (l) D
st
g´ eom (O j ) telle que δ
˜
G
l = γ
˜
G . Cela nous ramène au problème initial, avec l’hypothèse supplémentaire que chacune des classes O j engendre la même
classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ). Nous faisons désormais cette hypothèse
et nous posons simplement O
˜
G = O
˜
G
j pour tout j = 1, . . . , k.
On fixe η ∈ O
˜
G tel que G η soit quasi-déployé et on fixe une paire de Borel
épinglée E η de G η définie sur F , de paire de Borel (B η , T ). Pour tout j = 1, . . . , k,
on fixe η j ∈ O j tel que M ηj (donc aussi G ηj ) soit quasi-déployé et on fixe une
paire de Borel épinglée E ηj de G ηj définie sur F , de paire de Borel (B ηj , T j ),
de sorte que M ηj soit standard. Puisque η j ∈ O
˜
G , on peut fixer y j ∈ Y(η) de
sorte que η j = η[y j ]. L’automorphisme ad yj se restreint en un torseur intérieur
de G ηj sur G η . Quitte à multiplier y j à gauche par un élément de I η = G η , on
peut supposer que ce torseur envoie E ηj sur E η . Un tel torseur intérieur est alors
un isomorphisme défini sur F . Il se restreint en un isomorphisme défini sur F
de T j sur T . Puisque A M ⊂ A Mη ⊂ T , le tore ad yj (A M ) est défini sur F et
l’application ad yj : A M → ad yj (A M ) est un isomorphisme défini sur F . Notons
˜
M j le commutant de ad yj (A M ) dans ˜
G. C’est un espace de Levi de ˜
G, on a
η ∈ ˜
M j (F ) et le groupe M j,η est standard pour E η puisque c’est l’image par ad yj
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à prouver que cette application d’induction est injective sur D
st
g´ eom (O, ω)
N . Mais
on vient de prouver qu’elle était injective sur l’espace plus gros D g´ eom (O, ω)
N .
D’où l’assertion, ce qui achève la démonstration.
I.5.13 Induction et stabilité
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient ˜
M un espace
de Levi de ˜
G et (O j ) j=1,...,k une famille finie de classes de conjugaison stable
semi-simples dans ˜
M (F ). Rappelons que l’on note γ → γ
˜
G l’homomorphisme
d’induction de D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ dans D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Lemme. Soit γ ∈
j=1,...,k D g´ eom (O j ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Supposons que γ
˜
G soit
stable. Alors il existe δ ∈
j=1,...,k D
st
g´ eom (O j ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ telle que δ
˜
G = γ
˜
G .
Preuve. On fixe des mesures de Haar pour se débarrasser des espaces de mesures. Pour tout j, notons O
˜
G
j la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ) qui
contient O j . On peut regrouper les classes O j selon ces classes O
˜
G
j . C’est-àdire que l’on peut fixer une famille (O
l ) l=1,...,m de classes de conjugaison stable
semi-simples dans ˜
G(F ), distinctes deux-à-deux, et une application surjective
q : {1, . . . , k} → {1, . . . , m} de sorte que O
˜
G
j = O
q(j) pour tout j = 1, . . . , k. On
peut écrire γ =
l=1,...,m γ l , avec γ l ∈
j∈q −1 (l) D g´ eom (O j ). Alors
l=1,...,m γ
˜
G
l
est stable. Mais les distributions γ
˜
G
l sont supportées par des classes de conjugaison
stable distinctes. Il résulte des constructions de 4.6 qu’alors, chaque γ
˜
G
l est stable.
Pour résoudre notre problème, il suffit de trouver pour chaque l une distribution
δ l ∈
j∈q −1 (l) D
st
g´ eom (O j ) telle que δ
˜
G
l = γ
˜
G . Cela nous ramène au problème initial, avec l’hypothèse supplémentaire que chacune des classes O j engendre la même
classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ). Nous faisons désormais cette hypothèse
et nous posons simplement O
˜
G = O
˜
G
j pour tout j = 1, . . . , k.
On fixe η ∈ O
˜
G tel que G η soit quasi-déployé et on fixe une paire de Borel
épinglée E η de G η définie sur F , de paire de Borel (B η , T ). Pour tout j = 1, . . . , k,
on fixe η j ∈ O j tel que M ηj (donc aussi G ηj ) soit quasi-déployé et on fixe une
paire de Borel épinglée E ηj de G ηj définie sur F , de paire de Borel (B ηj , T j ),
de sorte que M ηj soit standard. Puisque η j ∈ O
˜
G , on peut fixer y j ∈ Y(η) de
sorte que η j = η[y j ]. L’automorphisme ad yj se restreint en un torseur intérieur
de G ηj sur G η . Quitte à multiplier y j à gauche par un élément de I η = G η , on
peut supposer que ce torseur envoie E ηj sur E η . Un tel torseur intérieur est alors
un isomorphisme défini sur F . Il se restreint en un isomorphisme défini sur F
de T j sur T . Puisque A M ⊂ A Mη ⊂ T , le tore ad yj (A M ) est défini sur F et
l’application ad yj : A M → ad yj (A M ) est un isomorphisme défini sur F . Notons
˜
M j le commutant de ad yj (A M ) dans ˜
G. C’est un espace de Levi de ˜
G, on a
η ∈ ˜
M j (F ) et le groupe M j,η est standard pour E η puisque c’est l’image par ad yj