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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
de M ηj . Le même raisonnement que dans la preuve du lemme 5.11 montre que y j
se décompose en g j m j , avec m j ∈ M et g j ∈ G(F ). On voit que m
−1
j
appartient
à Y(η j ), donc ad mj (η j ) ∈ O j . Le groupe G ad m j (ηj ) est égal à ad g
−1
j
(G η ), donc
est quasi-déployé. Quitte à remplacer η j par ad mj (η j ), on peut donc supposer
m j = 1 et y j = g j ∈ G(F ). L’élément g j conjugue ˜
M en ˜
M j , η j en η et la classe
O j en la classe de conjugaison stable O
j de η dans ˜
M j (F ). On peut écrire γ =
j=1,...,k γ j , où γ j ∈ D g´ eom (O j ). Pour tout j, notons γ
j l’image de γ j par ad gj .
C’est un élément de D g´ eom (O
j ). Il est clair que γ
˜
G
j = γ
˜
G
j . Donc
j=1,...,k γ
˜
G
j
est stable. Supposons trouvées des distributions stables δ
˜
G
j ∈ D
st
g´ eom (O
j ) de sorte
que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . Pour tout j, on note alors δ j l’image de δ
j par
ad g
−1
j
. En inversant le calcul ci-dessus, on voit que la distribution δ =
j=1,...,k δ j
résout notre problème.
Oubliant notre problème initial pour simplifier les notations, on est ramené
au problème suivant. On considère une famille ( ˜
M j ) j=1,...,k d’espaces de Levi de
˜
G tels que η ∈ ˜
M j (F ). Pour tout j, on note O j la classe de conjugaison stable de
η dans ˜
M j (F ) et on considère une distribution γ j ∈ D g´ eom (O j ). On suppose que
j=1,...,k γ
˜
G
j est stable. On veut prouver qu’il existe pour tout j une distribution
δ j ∈ D
st
g´ eom (O j ) de sorte que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j .
Fixons un voisinage u de 0 dans G η (F ) ayant les mêmes propriétés qu’en 4.8.
On pose U η = exp(u) et on note ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) dont la partie
semi-simple est stablement conjuguée à un élément de U η η. Pour tout j = 1, . . . , k,
on pose U η,j = U η ∩ M j,η (F ) et on note ˜
U j l’ensemble des éléments de ˜
M j (F ) dont
la partie semi-simple est stablement conjuguée (dans ˜
M j ) à un élément de U η,j η.
Considérons le diagramme commutatif
I( ˜
U )
res
→
⊕ j=1,...,k I( ˜
U j )
ι
ι
I( ˜
G(F )) O
˜
G ,loc
res loc
→ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc
s ↓
s loc ↓
s loc ↓
↓ s
SI( ˜
G(F )) O
˜
G ,loc
res
st
loc
→ ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc
ι
st
ι
st
SI( ˜
U )
res
st
→
⊕ j=1,...,k SI( ˜
U j ) .
Les flèches sont les applications naturelles. Décrivons l’espace I( ˜
U ). Pour
y ∈ Y(η), il correspond à u un voisinage u y de 0 dans G η[y] . Posons U y = exp(u y ).
On pose Z η = Z G (η) ∩ Y(η). Comme on l’a vu dans la preuve de 5.12, l’ensemble
X (η) = Z η \Y(η)/G(F )
paramètre l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans O
˜
G . Si on fixe un
ensemble de représentants ˙
X (η) de cet ensemble de doubles classes, la théorie de
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
de M ηj . Le même raisonnement que dans la preuve du lemme 5.11 montre que y j
se décompose en g j m j , avec m j ∈ M et g j ∈ G(F ). On voit que m
−1
j
appartient
à Y(η j ), donc ad mj (η j ) ∈ O j . Le groupe G ad m j (ηj ) est égal à ad g
−1
j
(G η ), donc
est quasi-déployé. Quitte à remplacer η j par ad mj (η j ), on peut donc supposer
m j = 1 et y j = g j ∈ G(F ). L’élément g j conjugue ˜
M en ˜
M j , η j en η et la classe
O j en la classe de conjugaison stable O
j de η dans ˜
M j (F ). On peut écrire γ =
j=1,...,k γ j , où γ j ∈ D g´ eom (O j ). Pour tout j, notons γ
j l’image de γ j par ad gj .
C’est un élément de D g´ eom (O
j ). Il est clair que γ
˜
G
j = γ
˜
G
j . Donc
j=1,...,k γ
˜
G
j
est stable. Supposons trouvées des distributions stables δ
˜
G
j ∈ D
st
g´ eom (O
j ) de sorte
que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . Pour tout j, on note alors δ j l’image de δ
j par
ad g
−1
j
. En inversant le calcul ci-dessus, on voit que la distribution δ =
j=1,...,k δ j
résout notre problème.
Oubliant notre problème initial pour simplifier les notations, on est ramené
au problème suivant. On considère une famille ( ˜
M j ) j=1,...,k d’espaces de Levi de
˜
G tels que η ∈ ˜
M j (F ). Pour tout j, on note O j la classe de conjugaison stable de
η dans ˜
M j (F ) et on considère une distribution γ j ∈ D g´ eom (O j ). On suppose que
j=1,...,k γ
˜
G
j est stable. On veut prouver qu’il existe pour tout j une distribution
δ j ∈ D
st
g´ eom (O j ) de sorte que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j .
Fixons un voisinage u de 0 dans G η (F ) ayant les mêmes propriétés qu’en 4.8.
On pose U η = exp(u) et on note ˜
U l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) dont la partie
semi-simple est stablement conjuguée à un élément de U η η. Pour tout j = 1, . . . , k,
on pose U η,j = U η ∩ M j,η (F ) et on note ˜
U j l’ensemble des éléments de ˜
M j (F ) dont
la partie semi-simple est stablement conjuguée (dans ˜
M j ) à un élément de U η,j η.
Considérons le diagramme commutatif
I( ˜
U )
res
→
⊕ j=1,...,k I( ˜
U j )
ι
ι
I( ˜
G(F )) O
˜
G ,loc
res loc
→ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc
s ↓
s loc ↓
s loc ↓
↓ s
SI( ˜
G(F )) O
˜
G ,loc
res
st
loc
→ ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc
ι
st
ι
st
SI( ˜
U )
res
st
→
⊕ j=1,...,k SI( ˜
U j ) .
Les flèches sont les applications naturelles. Décrivons l’espace I( ˜
U ). Pour
y ∈ Y(η), il correspond à u un voisinage u y de 0 dans G η[y] . Posons U y = exp(u y ).
On pose Z η = Z G (η) ∩ Y(η). Comme on l’a vu dans la preuve de 5.12, l’ensemble
X (η) = Z η \Y(η)/G(F )
paramètre l’ensemble des classes de conjugaison par G(F ) dans O
˜
G . Si on fixe un
ensemble de représentants ˙
X (η) de cet ensemble de doubles classes, la théorie de