I.5. Distributions «géométriques»
149
la descente identifie I( ˜
U ) à ⊕ y∈ ˙
X (η) I(U y )
ZG(η[y];F ) . Fixons plutôt un ensemble de
représentants ˙
Y(η) de l’ensemble de doubles classes
Y(η) = G η \Y(η)/G(F ).
Alors I( ˜
U ) s’identifie au sous-espace des (f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ ⊕ y∈ ˙
Y(η) I(U y ) qui vérifient
la condition suivante :
(1) soient y, y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(F ) tels que ad g (η[y]) = η[y
] ; alors f y = ad g (f y ).
Remarquons que le quotient Z η /G η est égal au groupe Ξ
ΓF
η de 4.8. Ce groupe
agit sur Y(η) par multiplication à gauche. Il s’en déduit une action de ce groupe
sur ˙
Y(η) que l’on note (ξ, y) → ξ ξ y. Le stabilisateur dans Ξ
ΓF
η d’un élément y est
l’image dans ce groupe de ad y (Z G (η[y]; F )). Comme on l’a vu en 4.6, le groupe
Ξ
ΓF
η
agit sur G η par automorphismes définis sur F . Rappelons la construction.
Considérons un élément z ∈ Z η . Quitte à multiplier z à gauche par un élément de
G η , on peut supposer que ad z conserve E η . L’élément z est alors bien déterminé
modulo multiplication à gauche par un élément de Z(G η ) et on a zσ(z)
−1
∈
Z(G η ) pour tout σ ∈ Γ F . La restriction de ad z à G η est un automorphisme de
ce groupe qui est défini sur F . Cet automorphisme ne dépend que de l’image
de z dans Ξ
ΓF
η . On note ad ξ l’automorphisme déterminé par ξ ∈ Ξ
ΓF
η . Posons
˙
Y
0 (η) = ˙
Y(η) ∩ Z η G(F ). Les éléments de cet ensemble sont les y ∈ ˙
Y(η) tels que
η[y] est conjugué à η par un élément de G(F ). On impose à notre système de
représentants ˙
Y(η) la condition
(2) supposons y ∈ ˙
Y
0 (η) ; alors y est un élément de Z η tel que ad y conserve E η .
Il en résulte que, pour un tel élément y, on a η[y] = η et, en notant ξ y l’image
de y dans Ξ
ΓF
η , la restriction de ad y à G η coïncide avec ad ξy .
On décrit de façon similaire les espaces I( ˜
U j ) et on impose la même condition.
On ajoute des indices j pour les objets relatifs à ces espaces. D’après le lemme
5.11, il y a pour tout j une injection q j = ˙
Y j (η) → ˙
Y(η) de sorte que, pour tout
y ∈ ˙
Y j (η), il existe x y ∈ G η et g y ∈ G(F ) tels que y = x y q j (y)g y . On fixe de tels
éléments x y et g y . Montrons que
(3) soit y ∈ ˙
Y j (η), supposons q j (y) ∈ ˙
Y
0 (η) ; alors on peut supposer x y = 1.
On a x y q j (y)σ(q j (y))
−1 σ(x y )
−1 = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . D’après (2),
le terme q j (y)σ(q j (y))
−1 appartient à Z(G η ). Donc, d’une part, il commute à
x y , d’autre part, il appartient à M j,η , a fortiori à M j . L’égalité précédente entraîne que x y σ(x y )
−1
∈ M j . Puisque c’est aussi un élément de G η , il appartient à M j,η . On obtient un cocycle σ → x y σ(x y )
−1 à valeurs dans M j,η qui
devient un cobord dans G η . Puisque H
1 (Γ F ; M j,η ) → H
1 (Γ F ; G η ) est injective, il
existe x
∈ M j,η et g
∈ G η (F ) tel que x y = x
g
. On a alors y = x
g
q j (y)g y =
x
q j (y) ad qj (y) −1 (g
)g y . Puisque ad qj (y) est un automorphisme défini sur F de G η ,
le terme ad qj (y) −1 (g
)g y appartient à G(F ). On peut remplacer y par (x
)
−1 y, x y
par 1 et g y par ad qj (y) −1 (g
)g y . Avec ces nouvelles définitions, on a y = q j (y)g y , ce
qui démontre (3).
149
la descente identifie I( ˜
U ) à ⊕ y∈ ˙
X (η) I(U y )
ZG(η[y];F ) . Fixons plutôt un ensemble de
représentants ˙
Y(η) de l’ensemble de doubles classes
Y(η) = G η \Y(η)/G(F ).
Alors I( ˜
U ) s’identifie au sous-espace des (f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ ⊕ y∈ ˙
Y(η) I(U y ) qui vérifient
la condition suivante :
(1) soient y, y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(F ) tels que ad g (η[y]) = η[y
] ; alors f y = ad g (f y ).
Remarquons que le quotient Z η /G η est égal au groupe Ξ
ΓF
η de 4.8. Ce groupe
agit sur Y(η) par multiplication à gauche. Il s’en déduit une action de ce groupe
sur ˙
Y(η) que l’on note (ξ, y) → ξ ξ y. Le stabilisateur dans Ξ
ΓF
η d’un élément y est
l’image dans ce groupe de ad y (Z G (η[y]; F )). Comme on l’a vu en 4.6, le groupe
Ξ
ΓF
η
agit sur G η par automorphismes définis sur F . Rappelons la construction.
Considérons un élément z ∈ Z η . Quitte à multiplier z à gauche par un élément de
G η , on peut supposer que ad z conserve E η . L’élément z est alors bien déterminé
modulo multiplication à gauche par un élément de Z(G η ) et on a zσ(z)
−1
∈
Z(G η ) pour tout σ ∈ Γ F . La restriction de ad z à G η est un automorphisme de
ce groupe qui est défini sur F . Cet automorphisme ne dépend que de l’image
de z dans Ξ
ΓF
η . On note ad ξ l’automorphisme déterminé par ξ ∈ Ξ
ΓF
η . Posons
˙
Y
0 (η) = ˙
Y(η) ∩ Z η G(F ). Les éléments de cet ensemble sont les y ∈ ˙
Y(η) tels que
η[y] est conjugué à η par un élément de G(F ). On impose à notre système de
représentants ˙
Y(η) la condition
(2) supposons y ∈ ˙
Y
0 (η) ; alors y est un élément de Z η tel que ad y conserve E η .
Il en résulte que, pour un tel élément y, on a η[y] = η et, en notant ξ y l’image
de y dans Ξ
ΓF
η , la restriction de ad y à G η coïncide avec ad ξy .
On décrit de façon similaire les espaces I( ˜
U j ) et on impose la même condition.
On ajoute des indices j pour les objets relatifs à ces espaces. D’après le lemme
5.11, il y a pour tout j une injection q j = ˙
Y j (η) → ˙
Y(η) de sorte que, pour tout
y ∈ ˙
Y j (η), il existe x y ∈ G η et g y ∈ G(F ) tels que y = x y q j (y)g y . On fixe de tels
éléments x y et g y . Montrons que
(3) soit y ∈ ˙
Y j (η), supposons q j (y) ∈ ˙
Y
0 (η) ; alors on peut supposer x y = 1.
On a x y q j (y)σ(q j (y))
−1 σ(x y )
−1 = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . D’après (2),
le terme q j (y)σ(q j (y))
−1 appartient à Z(G η ). Donc, d’une part, il commute à
x y , d’autre part, il appartient à M j,η , a fortiori à M j . L’égalité précédente entraîne que x y σ(x y )
−1
∈ M j . Puisque c’est aussi un élément de G η , il appartient à M j,η . On obtient un cocycle σ → x y σ(x y )
−1 à valeurs dans M j,η qui
devient un cobord dans G η . Puisque H
1 (Γ F ; M j,η ) → H
1 (Γ F ; G η ) est injective, il
existe x
∈ M j,η et g
∈ G η (F ) tel que x y = x
g
. On a alors y = x
g
q j (y)g y =
x
q j (y) ad qj (y) −1 (g
)g y . Puisque ad qj (y) est un automorphisme défini sur F de G η ,
le terme ad qj (y) −1 (g
)g y appartient à G(F ). On peut remplacer y par (x
)
−1 y, x y
par 1 et g y par ad qj (y) −1 (g
)g y . Avec ces nouvelles définitions, on a y = q j (y)g y , ce
qui démontre (3).