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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
L’application res du diagramme se décrit par
(4)
(f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ I( ˜
U ) → (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) ∈ ⊕ j=1,...,k I( ˜
U j )
où, pour tout j et tout y ∈ ˙
Y j (η), f j,y est l’image de ad g
−1
y
(f qj (y) ) par l’application
res M j,η[y] . Rappelons que pour tout y ∈ Y(η), du torseur intérieur ad y se déduit
une application transfert y : I( ˜
U y ) → SI( ˜
U η ). Soit (f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ I( ˜
U ). Pour tout
y ∈ ˙
Y(η) et tout ξ ∈ Ξ
ΓF
η , on a l’égalité
(5)
transfert ξξy (f ξξy ) = ad ξ (transfert y (f y )).
A ce point, nous allons séparer les cas F non-archimédien et F archimédien.
I.5.14 Suite de la preuve, cas F non-archimédien
On suppose F non-archimédien. On va prouver
(1) soit f ∈ I( ˜
U ) ; supposons que l’image de f dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc
est nulle ; alors il existe f
∈ I( ˜
U ) qui a même image que f dans
⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc
et dont l’image dans SI( ˜
U ) est nulle.
Soit f = (f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ I( ˜
U ). On note (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) son image dans
⊕ j=1,...,k I( ˜
U j ), cf. 5.13 (4).
Supposons que l’image de f dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc est nulle. Posons
φ =
y∈ ˙
Y(η) transfert y (f y ). C’est un élément de SI(U η ). Montrons que
(2) pour tout j = 1, . . . , k, l’image φ Mj,η de φ dans SI(U η,j ) est nulle au voisinage
de 0.
Soit j ∈ {1, . . . , k}. Posons φ j =
y∈ ˙
Yj (η) transfert y (f j,y ). C’est un élément de SI(U η,j ). D’après la description de 4.8, dire que l’image de f dans
SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc est nulle revient à dire que φ j est nulle au voisinage de 0. Il suffit
donc de prouver que φ j = φ Mj,η . Par commutation du transfert à la restriction, on
voit que, pour tout y ∈ ˙
Y j (η), on a transfert y (f j,y ) = (transfert qj (y) (f qj (y) )) Mj,η .
D’autre part, pour y ∈ ˙
Y(η) qui n’appartient pas à l’image de q j , aucun soustore maximal de M j,η ne se transfère à G η[y] , cf. lemme 5.11. Il en résulte que
(transfert y (f y )) Mj,η = 0. Cela démontre l’égalité φ j = φ Mj,η et (2).
Quitte à multiplier f par la fonction caractéristique d’un voisinage ouvert et
fermé de O
˜
G invariant par conjugaison stable (c’est-à-dire tel qu’en 4.6) et assez
petit, ce qui ne change pas l’image de f dans ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc , on peut donc
supposer que φ Mj,η = 0. On dispose d’une action de Ξ
ΓF
η sur G η (F ), donc aussi sur
I(G η (F )) et SI(G η (F )). On a aussi une action de G η,AD (F ). Les deux actions se
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
L’application res du diagramme se décrit par
(4)
(f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ I( ˜
U ) → (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) ∈ ⊕ j=1,...,k I( ˜
U j )
où, pour tout j et tout y ∈ ˙
Y j (η), f j,y est l’image de ad g
−1
y
(f qj (y) ) par l’application
res M j,η[y] . Rappelons que pour tout y ∈ Y(η), du torseur intérieur ad y se déduit
une application transfert y : I( ˜
U y ) → SI( ˜
U η ). Soit (f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ I( ˜
U ). Pour tout
y ∈ ˙
Y(η) et tout ξ ∈ Ξ
ΓF
η , on a l’égalité
(5)
transfert ξξy (f ξξy ) = ad ξ (transfert y (f y )).
A ce point, nous allons séparer les cas F non-archimédien et F archimédien.
I.5.14 Suite de la preuve, cas F non-archimédien
On suppose F non-archimédien. On va prouver
(1) soit f ∈ I( ˜
U ) ; supposons que l’image de f dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc
est nulle ; alors il existe f
∈ I( ˜
U ) qui a même image que f dans
⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc
et dont l’image dans SI( ˜
U ) est nulle.
Soit f = (f y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ I( ˜
U ). On note (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) son image dans
⊕ j=1,...,k I( ˜
U j ), cf. 5.13 (4).
Supposons que l’image de f dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc est nulle. Posons
φ =
y∈ ˙
Y(η) transfert y (f y ). C’est un élément de SI(U η ). Montrons que
(2) pour tout j = 1, . . . , k, l’image φ Mj,η de φ dans SI(U η,j ) est nulle au voisinage
de 0.
Soit j ∈ {1, . . . , k}. Posons φ j =
y∈ ˙
Yj (η) transfert y (f j,y ). C’est un élément de SI(U η,j ). D’après la description de 4.8, dire que l’image de f dans
SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc est nulle revient à dire que φ j est nulle au voisinage de 0. Il suffit
donc de prouver que φ j = φ Mj,η . Par commutation du transfert à la restriction, on
voit que, pour tout y ∈ ˙
Y j (η), on a transfert y (f j,y ) = (transfert qj (y) (f qj (y) )) Mj,η .
D’autre part, pour y ∈ ˙
Y(η) qui n’appartient pas à l’image de q j , aucun soustore maximal de M j,η ne se transfère à G η[y] , cf. lemme 5.11. Il en résulte que
(transfert y (f y )) Mj,η = 0. Cela démontre l’égalité φ j = φ Mj,η et (2).
Quitte à multiplier f par la fonction caractéristique d’un voisinage ouvert et
fermé de O
˜
G invariant par conjugaison stable (c’est-à-dire tel qu’en 4.6) et assez
petit, ce qui ne change pas l’image de f dans ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc , on peut donc
supposer que φ Mj,η = 0. On dispose d’une action de Ξ
ΓF
η sur G η (F ), donc aussi sur
I(G η (F )) et SI(G η (F )). On a aussi une action de G η,AD (F ). Les deux actions se