I.5. Distributions «géométriques»
151
combinent en une action du produit semi-direct H η = G η,AD (F )Ξ
ΓF
η . On sait que
φ est invariant par Ξ
ΓF
η , cf. lemme 4.8. On retrouve d’ailleurs ce résultat en utilisant
5.13(5). D’autre part, les classes de conjugaison stable dans G η (F ) d’éléments
fortement réguliers sont invariantes par l’action de G η,AD (F ). Il en résulte que U η
est invariant par G η,AD (F ) et que l’action de ce groupe G η,AD (F ) sur SI(G η (F ))
est triviale. Donc φ est invariant par H η . Cela entraîne que φ ad h (Mj,η ) = 0 pour
tout j et tout h ∈ H η . L’action de H η sur I(G η (F )) se factorise par l’action
d’un groupe fini puisque l’image de G η (F ) dans G η,AD (F ) agit trivialement. Il
en résulte que l’on peut relever φ en un élément ϕ ∈ I(U η ) qui est invariant
par H η . Cet élément vérifie : l’image de ϕ adh(Mj,η) dans SI(ad h (M j,η (F ))) est
nulle pour tout j = 1, . . . , k et tout h ∈ H η . Pour la même raison que ci-dessus,
l’ensemble des Levi intervenant dans cette relation est fini modulo conjugaison
par G η (F ). On peut donc appliquer le 4.16 : il existe ϕ 0 ∈ I
inst (G η (F )) tel que
ϕ 0,ad h (Mj,η ) = ϕ ad h (Mj,η ) pour tous j, h. On peut moyenner ϕ 0 sous l’action de
H η et supposer ϕ 0 invariant par ce groupe. On peut aussi remplacer ϕ 0 par son
produit avec la fonction caractéristique de U η et supposer ϕ 0 ∈ I(U η ).
Notons N le nombre d’éléments de ˙
Y
0 (η). Définissons une famille f
=
(f
y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ ⊕ y∈ ˙
Y(η) I(U y ) par f
y = f y pour y ∈ ˙
Y
0 (η) et f
y = f y +
1
N (ϕ 0 − ϕ)
pour y ∈ ˙
Y
0 (η). Remarquons qu’en vertu de l’hypothèse 5.13(2), on a η[y] = η
et U y = U η pour y ∈ ˙
Y
0 (η). Nos fonctions appartiennent bien à l’espace indiqué.
Montrons que
(3) la famille f
appartient à I( ˜
U ).
On doit vérifier la condition 5.13(1). Soient y, y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(F ) tels
que ad g (η[y]) = η[y
]. Ces conditions entraînent que y ∈ ˙
Y
0 (η) si et seulement si
y
∈ ˙
Y
0 (η). Supposons d’abord que y, y
∈ ˙
Y
0 (η). Alors la condition ad g (f
y ) = f
y
résulte de la condition initiale ad g (f y ) = f y . Supposons maintenant y, y
∈ ˙
Y
0 (η).
Dans ce cas η[y] = η[y
], donc g ∈ Z G (η; F ). En vertu de la condition initiale
ad g (f y ) = f y , il nous suffit de prouver que ϕ et ϕ 0 sont invariantes par ad g .
Puisque ces fonctions sont invariantes par H η , il suffit de prouver qu’il existe
h ∈ H η tel que ad g = ad h . Or Z G (η; F ) ⊂ Z η . On peut donc trouver x ∈ G η
et z ∈ Z η de sorte que g = xz et ad z conserve E η . On a ad g = ad x ad z . On a
ad z = ad ξ , où ξ est l’image de z dans Ξ
ΓF
η . Puisque ad g et ad ξ sont définis sur F ,
ad x aussi, ce qui implique que l’image de x dans G η,AD appartient à G η,AD (F ).
On a bien décomposé ad g en produit de l’action d’un élément de G η,AD (F ) et d’un
élément de Ξ
ΓF
η . Cela prouve (3).
On a
(4) l’image de f
dans SI( ˜
U ) est nulle.
Posons φ
=
y∈ ˙
Y(η) transfert y (f
y ). C’est un élément de SI(U η ). En vertu
de 4.8, il s’agit de prouver que φ
= 0. Par définition,
φ
= φ +
1
N
y∈ ˙
Y 0 (η)
transfert y (ϕ 0 − ϕ).
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combinent en une action du produit semi-direct H η = G η,AD (F )Ξ
ΓF
η . On sait que
φ est invariant par Ξ
ΓF
η , cf. lemme 4.8. On retrouve d’ailleurs ce résultat en utilisant
5.13(5). D’autre part, les classes de conjugaison stable dans G η (F ) d’éléments
fortement réguliers sont invariantes par l’action de G η,AD (F ). Il en résulte que U η
est invariant par G η,AD (F ) et que l’action de ce groupe G η,AD (F ) sur SI(G η (F ))
est triviale. Donc φ est invariant par H η . Cela entraîne que φ ad h (Mj,η ) = 0 pour
tout j et tout h ∈ H η . L’action de H η sur I(G η (F )) se factorise par l’action
d’un groupe fini puisque l’image de G η (F ) dans G η,AD (F ) agit trivialement. Il
en résulte que l’on peut relever φ en un élément ϕ ∈ I(U η ) qui est invariant
par H η . Cet élément vérifie : l’image de ϕ adh(Mj,η) dans SI(ad h (M j,η (F ))) est
nulle pour tout j = 1, . . . , k et tout h ∈ H η . Pour la même raison que ci-dessus,
l’ensemble des Levi intervenant dans cette relation est fini modulo conjugaison
par G η (F ). On peut donc appliquer le 4.16 : il existe ϕ 0 ∈ I
inst (G η (F )) tel que
ϕ 0,ad h (Mj,η ) = ϕ ad h (Mj,η ) pour tous j, h. On peut moyenner ϕ 0 sous l’action de
H η et supposer ϕ 0 invariant par ce groupe. On peut aussi remplacer ϕ 0 par son
produit avec la fonction caractéristique de U η et supposer ϕ 0 ∈ I(U η ).
Notons N le nombre d’éléments de ˙
Y
0 (η). Définissons une famille f
=
(f
y ) y∈ ˙
Y(η) ∈ ⊕ y∈ ˙
Y(η) I(U y ) par f
y = f y pour y ∈ ˙
Y
0 (η) et f
y = f y +
1
N (ϕ 0 − ϕ)
pour y ∈ ˙
Y
0 (η). Remarquons qu’en vertu de l’hypothèse 5.13(2), on a η[y] = η
et U y = U η pour y ∈ ˙
Y
0 (η). Nos fonctions appartiennent bien à l’espace indiqué.
Montrons que
(3) la famille f
appartient à I( ˜
U ).
On doit vérifier la condition 5.13(1). Soient y, y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(F ) tels
que ad g (η[y]) = η[y
]. Ces conditions entraînent que y ∈ ˙
Y
0 (η) si et seulement si
y
∈ ˙
Y
0 (η). Supposons d’abord que y, y
∈ ˙
Y
0 (η). Alors la condition ad g (f
y ) = f
y
résulte de la condition initiale ad g (f y ) = f y . Supposons maintenant y, y
∈ ˙
Y
0 (η).
Dans ce cas η[y] = η[y
], donc g ∈ Z G (η; F ). En vertu de la condition initiale
ad g (f y ) = f y , il nous suffit de prouver que ϕ et ϕ 0 sont invariantes par ad g .
Puisque ces fonctions sont invariantes par H η , il suffit de prouver qu’il existe
h ∈ H η tel que ad g = ad h . Or Z G (η; F ) ⊂ Z η . On peut donc trouver x ∈ G η
et z ∈ Z η de sorte que g = xz et ad z conserve E η . On a ad g = ad x ad z . On a
ad z = ad ξ , où ξ est l’image de z dans Ξ
ΓF
η . Puisque ad g et ad ξ sont définis sur F ,
ad x aussi, ce qui implique que l’image de x dans G η,AD appartient à G η,AD (F ).
On a bien décomposé ad g en produit de l’action d’un élément de G η,AD (F ) et d’un
élément de Ξ
ΓF
η . Cela prouve (3).
On a
(4) l’image de f
dans SI( ˜
U ) est nulle.
Posons φ
=
y∈ ˙
Y(η) transfert y (f
y ). C’est un élément de SI(U η ). En vertu
de 4.8, il s’agit de prouver que φ
= 0. Par définition,
φ
= φ +
1
N
y∈ ˙
Y 0 (η)
transfert y (ϕ 0 − ϕ).