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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Rappelons que l’image de ϕ dans SI(U η ) est φ. Pour y ∈ ˙
Y
0 (η), l’image de
transfert y (ϕ) est ξ y (φ), qui est égale à φ puisque φ est invariant par Ξ
ΓF
η . L’image
de ϕ 0 dans SI(U η ) est nulle, et celle de transfert y (ϕ 0 ) est l’image de la précédente
par ξ y , donc est nulle. L’égalité ci-dessus entraîne φ
= 0, d’où (4).
Montrons que
(5) pour tout j = 1, . . . , k, f et f
ont même image dans I( ˜
M j (F )) Oj ,loc .
Par 5.13(4), la famille f
définit une famille (f
j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) . On doit
prouver que f j,y = f
j,y pour tous j, y. Fixons j et y. Alors f j,y et f
j,y sont
les images de ad g
−1
y
(f qj (y) ) et ad g
−1
y
(f
qj (y) ) par res M j,η[y] . Si q j (y) ∈ ˙
Y
0 (η), on a
f qj (y) = f
qj (y) , d’où l’égalité cherchée. Supposons q j (y) ∈ ˙
Y
0 (η). En vertu de la définition de f
qj (y) , il suffit de prouver que les images de ad g
−1
y
(ϕ) et de ad g
−1
y
(ϕ 0 ) par
res M j,η[y] sont égales. Cela équivaut à ϕ adg y (M j,η[y] ) = ϕ 0,adg y (M j,η[y] ) . Posons z =
q j (y). D’après 5.13(3), on a y = zg y . Donc ad gy (M j,η[y] ) = ad z −1 ad y (M j,η[y] ) =
ad z −1 (M j,η ), puisque y ∈ M j . D’où ad gy (M j,η[y] ) = ad ξ (M j,η ), où ξ est l’image de
z
−1 dans Ξ
ΓF
η . La définition de ϕ 0 entraîne que ϕ ad ξ (Mj,η) = ϕ 0,ad ξ (Mj,η ) , ce qui
prouve (5).
D’après (3), (4) et (5), on a prouvé (1). Prouvons maintenant le lemme 5.13.
Pour tout j = 1, . . . , k, soit γ j ∈ D g´ eom (O j ). On suppose que
j=1,...,k γ
˜
G
j est
stable. On s’est ramené à trouver pour tout j une distribution δ j ∈ D
st
g´ eom (O j )
de sorte que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . L’élément ⊕ j=1,...,k γ j est une forme
linéaire sur ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc . L’élément ⊕ j=1,...,k δ j cherché est une forme
linéaire sur ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc . On peut la considérer comme une forme
linéaire sur ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc nulle sur le noyau de s loc , avec la notation du
diagramme de 5.13. La condition d’égalité des induites revient à ce que ces deux
formes linéaires coïncident sur l’image Im de l’application res loc . La condition
nécessaire et suffisante pour qu’il existe une solution est que ⊕ j=1,...,k γ j annule
Im ∩ Ker(s loc ). Un élément de Im ∩ Ker(s loc ) est l’image d’un f ∈ I( ˜
U ) tel que
l’image de f dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc est nulle. D’après (1), on peut supposer que l’image de f dans SI( ˜
U ) est nulle. Par ailleurs, la valeur de ⊕ j=1,...,k γ j
sur l’image de f est égale à celle de ⊕ j=1,...,k γ
˜
G
j sur f . Celle-ci est nulle puisque
cette distribution est stable. Cela achève la démonstration.
I.5.15 Suite de la preuve, cas F archimédien
Le problème pour F = C se ramène au même problème pour F = R en remplaçant chaque groupe et chaque espace par l’objet sur R obtenu par restriction des
scalaires. On suppose donc F = R. Tous les ensembles du diagramme de 5.13 sont
des espaces de Fréchet et toutes les applications sont continues. Les applications
s, ι, ι
st et s loc sont surjectives. Il en est de même de s, ι, ι
st et s loc . Montrons que
(1) les images de res et res
st sont fermées.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Rappelons que l’image de ϕ dans SI(U η ) est φ. Pour y ∈ ˙
Y
0 (η), l’image de
transfert y (ϕ) est ξ y (φ), qui est égale à φ puisque φ est invariant par Ξ
ΓF
η . L’image
de ϕ 0 dans SI(U η ) est nulle, et celle de transfert y (ϕ 0 ) est l’image de la précédente
par ξ y , donc est nulle. L’égalité ci-dessus entraîne φ
= 0, d’où (4).
Montrons que
(5) pour tout j = 1, . . . , k, f et f
ont même image dans I( ˜
M j (F )) Oj ,loc .
Par 5.13(4), la famille f
définit une famille (f
j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) . On doit
prouver que f j,y = f
j,y pour tous j, y. Fixons j et y. Alors f j,y et f
j,y sont
les images de ad g
−1
y
(f qj (y) ) et ad g
−1
y
(f
qj (y) ) par res M j,η[y] . Si q j (y) ∈ ˙
Y
0 (η), on a
f qj (y) = f
qj (y) , d’où l’égalité cherchée. Supposons q j (y) ∈ ˙
Y
0 (η). En vertu de la définition de f
qj (y) , il suffit de prouver que les images de ad g
−1
y
(ϕ) et de ad g
−1
y
(ϕ 0 ) par
res M j,η[y] sont égales. Cela équivaut à ϕ adg y (M j,η[y] ) = ϕ 0,adg y (M j,η[y] ) . Posons z =
q j (y). D’après 5.13(3), on a y = zg y . Donc ad gy (M j,η[y] ) = ad z −1 ad y (M j,η[y] ) =
ad z −1 (M j,η ), puisque y ∈ M j . D’où ad gy (M j,η[y] ) = ad ξ (M j,η ), où ξ est l’image de
z
−1 dans Ξ
ΓF
η . La définition de ϕ 0 entraîne que ϕ ad ξ (Mj,η) = ϕ 0,ad ξ (Mj,η ) , ce qui
prouve (5).
D’après (3), (4) et (5), on a prouvé (1). Prouvons maintenant le lemme 5.13.
Pour tout j = 1, . . . , k, soit γ j ∈ D g´ eom (O j ). On suppose que
j=1,...,k γ
˜
G
j est
stable. On s’est ramené à trouver pour tout j une distribution δ j ∈ D
st
g´ eom (O j )
de sorte que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . L’élément ⊕ j=1,...,k γ j est une forme
linéaire sur ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc . L’élément ⊕ j=1,...,k δ j cherché est une forme
linéaire sur ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc . On peut la considérer comme une forme
linéaire sur ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc nulle sur le noyau de s loc , avec la notation du
diagramme de 5.13. La condition d’égalité des induites revient à ce que ces deux
formes linéaires coïncident sur l’image Im de l’application res loc . La condition
nécessaire et suffisante pour qu’il existe une solution est que ⊕ j=1,...,k γ j annule
Im ∩ Ker(s loc ). Un élément de Im ∩ Ker(s loc ) est l’image d’un f ∈ I( ˜
U ) tel que
l’image de f dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
M j (F )) Oj ,loc est nulle. D’après (1), on peut supposer que l’image de f dans SI( ˜
U ) est nulle. Par ailleurs, la valeur de ⊕ j=1,...,k γ j
sur l’image de f est égale à celle de ⊕ j=1,...,k γ
˜
G
j sur f . Celle-ci est nulle puisque
cette distribution est stable. Cela achève la démonstration.
I.5.15 Suite de la preuve, cas F archimédien
Le problème pour F = C se ramène au même problème pour F = R en remplaçant chaque groupe et chaque espace par l’objet sur R obtenu par restriction des
scalaires. On suppose donc F = R. Tous les ensembles du diagramme de 5.13 sont
des espaces de Fréchet et toutes les applications sont continues. Les applications
s, ι, ι
st et s loc sont surjectives. Il en est de même de s, ι, ι
st et s loc . Montrons que
(1) les images de res et res
st sont fermées.