I.5. Distributions «géométriques»
153
On a décrit ⊕ j=1,...,k I( ˜
U j ) comme un espace de familles (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η)
où f j,y ∈ I(U j,y ) pour tous j, y. On va montrer que l’image de res s’identifie au
sous-espace des familles (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) qui vérifient la condition suivante :
(2) soient j, j
∈ {1, . . . , k}, y ∈ ˙
Y j (η), y
∈ ˙
Y j (η), R y un Levi de M j,η[y] , R
y
un Levi de M j ,η[y ] et g ∈ G(R) tel que ad g (η[y]) = η[y
] et ad g (R y ) = R
y ;
alors f j ,y ,R
y
= ad g (f j,y,Ry ).
La condition est nécessaire. En effet, soit x ∈ R y (R) en position générale. Si
notre collection (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) provient de f ∈ I( ˜
U ), on a
I
R
y (ad g (x), f j ,y ,R
y
) = I
M j ,η[y ] (ad g (x), f j ,y ) = I
˜
M
j (exp(ad g (x))η[y
], f ˜
M j )
= I
˜
G (exp(ad g (x))η[y
], f) = I
˜
G (ad g (exp(x)η[y]), f) = I
˜
G (exp(x)η[y], f)
= I
˜
Mj (exp(x)η[y], f ˜
Mj ) = I
M j,η[y] (x, f j,y ) = I
Ry (x, f j,y,Ry ).
Inversement, supposons (2) vérifiée. Pour tout y ∈ ˙
Y(η), considérons l’ensemble des
triplets (j, y
, g) tels que j ∈ {1, . . . , k}, y
∈ ˙
Y j (η), g ∈ G(R) tels que ad g (η[y]) =
η[y
]. Le groupe G η[y] (R) agit sur cet ensemble par multiplication de g à droite.
L’ensemble des orbites est fini. Fixons un ensemble de représentants ˙
G y de cet
ensemble d’orbites. A tout élément g = (j, y
, g) ∈ ˙
G y sont associés un Levi L g =
ad g −1 (M j,η[y ] ) de G η[y] et une fonction f g = ad g −1 (f j,y ) ∈ I(L g (R)). La condition
(2) assure que ces familles de Levi et de fonctions vérifient la condition du lemme
4.3. On peut donc fixer une fonction φ y ∈ I(G η[y] (R)) de sorte que (φ y ) Lg = f g
pour tout g ∈ ˙
G y . Puisque chaque f j,y est à support dans U j,y , il est plus ou moins
clair que l’on peut fixer une fonction α sur G η[y] (R), qui est C
∞ et invariante par
conjugaison, dont le support est contenu dans U y , de sorte que f g = αf g pour
tout g ∈ ˙
G y . On peut aussi bien remplacer φ y par αφ y et supposer φ y ∈ I(U y ).
Considérons l’ensemble des couples (y
, g) tels que y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(R) tels
que ad g (η[y]) = η[y
]. De nouveau, le groupe G η[y] (R) agit sur cet ensemble par
multiplication de g à droite. On fixe un ensemble ˙
H y de représentants de l’ensemble
d’orbites. Il résulte de (2) que, pour tout (y
, g) ∈ ˙
H y , la fonction ad g −1 (φ y ) vérifie
la même condition que φ y . On pose
f y = | ˙
H y |
−1
(y ,g)∈ ˙
Hy
ad g −1 (φ y ).
On voit que la famille (f y ) y∈ ˙
Y(η) vérifie la condition (1) de 5.13. Elle s’identifie donc à un élément de I( ˜
U ). On voit que son image par res est la famille
(f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) de départ. Cela prouve (2).
Cette relation (2) décrit l’image de res par des conditions qui sont fermées.
Il en résulte que cette image est fermée. Une preuve similaire s’applique à l’application res
st . D’où (1).
153
On a décrit ⊕ j=1,...,k I( ˜
U j ) comme un espace de familles (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η)
où f j,y ∈ I(U j,y ) pour tous j, y. On va montrer que l’image de res s’identifie au
sous-espace des familles (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) qui vérifient la condition suivante :
(2) soient j, j
∈ {1, . . . , k}, y ∈ ˙
Y j (η), y
∈ ˙
Y j (η), R y un Levi de M j,η[y] , R
y
un Levi de M j ,η[y ] et g ∈ G(R) tel que ad g (η[y]) = η[y
] et ad g (R y ) = R
y ;
alors f j ,y ,R
y
= ad g (f j,y,Ry ).
La condition est nécessaire. En effet, soit x ∈ R y (R) en position générale. Si
notre collection (f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) provient de f ∈ I( ˜
U ), on a
I
R
y (ad g (x), f j ,y ,R
y
) = I
M j ,η[y ] (ad g (x), f j ,y ) = I
˜
M
j (exp(ad g (x))η[y
], f ˜
M j )
= I
˜
G (exp(ad g (x))η[y
], f) = I
˜
G (ad g (exp(x)η[y]), f) = I
˜
G (exp(x)η[y], f)
= I
˜
Mj (exp(x)η[y], f ˜
Mj ) = I
M j,η[y] (x, f j,y ) = I
Ry (x, f j,y,Ry ).
Inversement, supposons (2) vérifiée. Pour tout y ∈ ˙
Y(η), considérons l’ensemble des
triplets (j, y
, g) tels que j ∈ {1, . . . , k}, y
∈ ˙
Y j (η), g ∈ G(R) tels que ad g (η[y]) =
η[y
]. Le groupe G η[y] (R) agit sur cet ensemble par multiplication de g à droite.
L’ensemble des orbites est fini. Fixons un ensemble de représentants ˙
G y de cet
ensemble d’orbites. A tout élément g = (j, y
, g) ∈ ˙
G y sont associés un Levi L g =
ad g −1 (M j,η[y ] ) de G η[y] et une fonction f g = ad g −1 (f j,y ) ∈ I(L g (R)). La condition
(2) assure que ces familles de Levi et de fonctions vérifient la condition du lemme
4.3. On peut donc fixer une fonction φ y ∈ I(G η[y] (R)) de sorte que (φ y ) Lg = f g
pour tout g ∈ ˙
G y . Puisque chaque f j,y est à support dans U j,y , il est plus ou moins
clair que l’on peut fixer une fonction α sur G η[y] (R), qui est C
∞ et invariante par
conjugaison, dont le support est contenu dans U y , de sorte que f g = αf g pour
tout g ∈ ˙
G y . On peut aussi bien remplacer φ y par αφ y et supposer φ y ∈ I(U y ).
Considérons l’ensemble des couples (y
, g) tels que y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(R) tels
que ad g (η[y]) = η[y
]. De nouveau, le groupe G η[y] (R) agit sur cet ensemble par
multiplication de g à droite. On fixe un ensemble ˙
H y de représentants de l’ensemble
d’orbites. Il résulte de (2) que, pour tout (y
, g) ∈ ˙
H y , la fonction ad g −1 (φ y ) vérifie
la même condition que φ y . On pose
f y = | ˙
H y |
−1
(y ,g)∈ ˙
Hy
ad g −1 (φ y ).
On voit que la famille (f y ) y∈ ˙
Y(η) vérifie la condition (1) de 5.13. Elle s’identifie donc à un élément de I( ˜
U ). On voit que son image par res est la famille
(f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) de départ. Cela prouve (2).
Cette relation (2) décrit l’image de res par des conditions qui sont fermées.
Il en résulte que cette image est fermée. Une preuve similaire s’applique à l’application res
st . D’où (1).