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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Montrons que (1) vaut aussi pour les applications localisées, c’est-à-dire
(3) les images de res loc et res
st
loc sont fermées.
L’espace I( ˜
G(R)) O
˜
G ,loc s’identifie à celui des familles (f y ) y∈ ˙
Y(η) telles que
– on a f y ∈ I(G η[y] (R)) unip,loc pour tout y ∈ ˙
Y(η), où l’indice unip signifie le
localisé relatif à la classe de conjugaison {1} de G η[y] (R) ;
– soient y, y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(R) tels que ad g (η[y)) = η[y
] ; alors f y = ad g (f y ).
On décrit de façon analogue l’espace ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (R)) Oj ,loc . Il est facile de
reprendre la preuve de (1) et de montrer que l’image de res loc est formé des familles
(f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) ∈ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (R)) Oj ,loc qui vérifient la condition (2) cidessus. On laisse cette preuve au lecteur. De nouveau, ces conditions sont fermées,
ce qui prouve que l’image de res loc est fermée. Une preuve similaire s’applique à
res
st
loc . D’où (3).
De la commutativité du diagramme de 5.13 résulte que l’image de Ker(s) par
res loc ◦ι est incluse dans Im(res loc ) ∩ Ker(s loc ). On va prouver
(4) l’image de Ker(s) par res loc ◦ι est dense dans Im(res loc ) ∩ Ker(s loc ).
On a Im(res loc ) = Im(res loc ◦ι). Soit f ∈ I( ˜
U ), supposons res loc ◦ι(f ) ∈
Ker(s loc ). Soit V 1 un voisinage de 0 dans ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc . Puisque res loc ◦ι
est continue, on peut fixer un voisinage V 2 de 0 dans I( ˜
U ) tel que res loc ◦ι(V 2 ) ⊂ V 1 .
L’application s ◦ res = res
st
◦s est d’image fermée d’après (1). Puisqu’il s’agit
d’une application continue entre espaces de Fréchet, elle est ouverte sur son image.
Il existe donc un voisinage V 3 de 0 dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
U j ) tel que V 3 ∩ Im(s ◦
res) ⊂ s ◦ res(V 2 ). Fixons un tore maximal T de G η et munissons t(C) d’une forme
hermitienne définie positive invariante par le groupe de Weyl absolu de T dans G.
Si l’on suppose u assez petit, tout élément γ ∈ ˜
U est conjugué par un élément de
G(C) à un élément exp(X)η avec X ∈ t(C) proche de 0. La norme |X| est bien
déterminée. Soit b une fonction C
∞ sur R qui vaut 1 dans un voisinage de 0 et est
nulle sur [1, +∞[. Pour tout entier n ≥ 1, on définit une fonction B n sur ˜
U par
B n (γ) = b(n|X|
2 ) avec la notation précédente. Elle vaut 1 dans un voisinage de O
˜
G
et sa restriction aux éléments fortement réguliers est invariante par conjugaison
stable. On a
(5) lim n→∞ s ◦ res(f B n ) = 0.
En effet, fixons j = 1, . . . , k et un sous-tore maximal de M j,η défini sur
F . Pour simplifier la notation, on peut aussi bien supposer que c’est le tore T
précédent. Définissons des fonctions ψ et ψ n sur t(R) par ψ(X) = S
˜
G (exp(X)η, f )
et ψ n (X) = S
˜
G (exp(X)η, f B n ). Soit D un opérateur différentiel sur t à coefficients
constants. On doit prouver que
lim
n→∞
sup
X∈t(R)
|Dψ n (X)| = 0.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Montrons que (1) vaut aussi pour les applications localisées, c’est-à-dire
(3) les images de res loc et res
st
loc sont fermées.
L’espace I( ˜
G(R)) O
˜
G ,loc s’identifie à celui des familles (f y ) y∈ ˙
Y(η) telles que
– on a f y ∈ I(G η[y] (R)) unip,loc pour tout y ∈ ˙
Y(η), où l’indice unip signifie le
localisé relatif à la classe de conjugaison {1} de G η[y] (R) ;
– soient y, y
∈ ˙
Y(η) et g ∈ G(R) tels que ad g (η[y)) = η[y
] ; alors f y = ad g (f y ).
On décrit de façon analogue l’espace ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (R)) Oj ,loc . Il est facile de
reprendre la preuve de (1) et de montrer que l’image de res loc est formé des familles
(f j,y ) j=1,...,k,y∈ ˙
Yj (η) ∈ ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (R)) Oj ,loc qui vérifient la condition (2) cidessus. On laisse cette preuve au lecteur. De nouveau, ces conditions sont fermées,
ce qui prouve que l’image de res loc est fermée. Une preuve similaire s’applique à
res
st
loc . D’où (3).
De la commutativité du diagramme de 5.13 résulte que l’image de Ker(s) par
res loc ◦ι est incluse dans Im(res loc ) ∩ Ker(s loc ). On va prouver
(4) l’image de Ker(s) par res loc ◦ι est dense dans Im(res loc ) ∩ Ker(s loc ).
On a Im(res loc ) = Im(res loc ◦ι). Soit f ∈ I( ˜
U ), supposons res loc ◦ι(f ) ∈
Ker(s loc ). Soit V 1 un voisinage de 0 dans ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc . Puisque res loc ◦ι
est continue, on peut fixer un voisinage V 2 de 0 dans I( ˜
U ) tel que res loc ◦ι(V 2 ) ⊂ V 1 .
L’application s ◦ res = res
st
◦s est d’image fermée d’après (1). Puisqu’il s’agit
d’une application continue entre espaces de Fréchet, elle est ouverte sur son image.
Il existe donc un voisinage V 3 de 0 dans ⊕ j=1,...,k SI( ˜
U j ) tel que V 3 ∩ Im(s ◦
res) ⊂ s ◦ res(V 2 ). Fixons un tore maximal T de G η et munissons t(C) d’une forme
hermitienne définie positive invariante par le groupe de Weyl absolu de T dans G.
Si l’on suppose u assez petit, tout élément γ ∈ ˜
U est conjugué par un élément de
G(C) à un élément exp(X)η avec X ∈ t(C) proche de 0. La norme |X| est bien
déterminée. Soit b une fonction C
∞ sur R qui vaut 1 dans un voisinage de 0 et est
nulle sur [1, +∞[. Pour tout entier n ≥ 1, on définit une fonction B n sur ˜
U par
B n (γ) = b(n|X|
2 ) avec la notation précédente. Elle vaut 1 dans un voisinage de O
˜
G
et sa restriction aux éléments fortement réguliers est invariante par conjugaison
stable. On a
(5) lim n→∞ s ◦ res(f B n ) = 0.
En effet, fixons j = 1, . . . , k et un sous-tore maximal de M j,η défini sur
F . Pour simplifier la notation, on peut aussi bien supposer que c’est le tore T
précédent. Définissons des fonctions ψ et ψ n sur t(R) par ψ(X) = S
˜
G (exp(X)η, f )
et ψ n (X) = S
˜
G (exp(X)η, f B n ). Soit D un opérateur différentiel sur t à coefficients
constants. On doit prouver que
lim
n→∞
sup
X∈t(R)
|Dψ n (X)| = 0.