I.5. Distributions «géométriques»
155
On a ψ n (X) = ψ(X)b(n|X|
2 ). On voit que Dψ n (X) est combinaison linéaire de
termes n
k D 1 ψ(X)(D 2 b)(n|X|
2 )P (X), avec des opérateurs différentiels D 1 et D 2
à coefficients constants et un polynôme P , les coefficients de cette combinaison
linéaire ne dépendant pas de n (les termes n
k et P (X) proviennent par dérivation
de n|X|
2 ). L’hypothèse sur f est que ι
st
◦s◦res(f ) = 0. Cela implique que toutes les
dérivées de ψ sont nulles en 0. Le développement d’Euler-Mac-Laurin entraîne que
l’on a pour tout m ∈ N une majoration |D 1 ψ(X)| ≤ C m |X|
m . Le terme ci-dessus
est donc majoré par
C 2k+2 n
k
|X|
2k+2
|P (X)(D 2 b)(n|X|
2 )|.
Le terme (D 2 b)(n|X|
2 ) est majoré uniformément et sa non-nullité implique |X|
2
≤
n
−1 . A fortiori, |X|
2
≤ 1 et |P (X)| est uniformément majoré dans ce domaine. Le
terme
n
k D 1 ψ(X)(D 2 b)(n|X|
2 )P (X)
est donc majoré par Cn
−1 pour une constante C convenable. Cela prouve (5).
Pour n assez grand, on a donc s ◦ res(f B n ) ∈ V 3 . On peut alors choisir une
fonction f n ∈ V 2 de sorte que s ◦ res(f B n − f n ) = 0. On peut alors reprendre la
démonstration du cas non-archimédien en l’appliquant à f B n − f n . On a l’analogue de 5.14(1), à savoir qu’il existe f
∈ I( ˜
U ) qui a même image que f B n − f n
dans ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (R)) Oj ,loc et dont l’image dans SI( ˜
U ) est nulle. Cette dernière
condition signifie que f
appartient à Ker(s). La première condition signifie que
res loc ◦ι(f
) = res loc ◦ι(f B n − f n ). Puisque B n vaut 1 dans un voisinage de O
˜
G ,
on a res loc ◦ι(f B n ) = res loc ◦ι(f ). On a aussi res loc ◦ι(f n ) ∈ V 1 . Cela prouve qu’il
existe un élément f
∈ Ker(s) tel que res loc ◦ι(f −f
) ∈ V 1 . D’où la densité affirmée
par (4).
Prouvons maintenant le lemme 5.13. Pour tout j = 1, . . . , k, soit γ j ∈
D g´ eom (O j ). On suppose que
j=1,...,k γ
˜
G
j est stable. On s’est ramené à trouver pour tout j une distribution δ j ∈ D
st
g´ eom (O j ) de sorte que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . Posons pour simplifier γ = ⊕ j=1,...,k γ j . C’est une forme linéaire
continue sur ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc . Comme dans le cas non-archimédien, la
stabilité de
j=1,...,k γ
˜
G
j implique que γ est nulle sur l’image de Ker(s) par
res loc ◦ι. D’après (4) et puisque cette forme linéaire est continue, elle est nulle sur
Im(res loc )∩Ker(s loc ). Les espaces intervenant ici sont fermés d’après (3). Donc γ se
descend en une forme linéaire continue sur Im(res loc )/(Im(res loc )∩Ker(s loc )). L’application s loc se quotiente en une bijection continue de cet espace sur Im(res
st
loc ).
D’après (3) et parce que nos espaces sont de Fréchet, cette bijection est un homéomorphisme. On obtient qu’il existe une forme linéaire continue δ
sur Im(res
st
loc )
telle que δ
◦ s loc coïncide avec γ sur Im(res loc ). Toujours d’après (3), on peut prolonger δ
en une forme linéaire continue δ = ⊕ j=1,...,k δ j ∈ ⊕ j=1,...,k D
st
g´ eom (O j ).
La condition précédente signifie que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . Cela achève la
démonstration.
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On a ψ n (X) = ψ(X)b(n|X|
2 ). On voit que Dψ n (X) est combinaison linéaire de
termes n
k D 1 ψ(X)(D 2 b)(n|X|
2 )P (X), avec des opérateurs différentiels D 1 et D 2
à coefficients constants et un polynôme P , les coefficients de cette combinaison
linéaire ne dépendant pas de n (les termes n
k et P (X) proviennent par dérivation
de n|X|
2 ). L’hypothèse sur f est que ι
st
◦s◦res(f ) = 0. Cela implique que toutes les
dérivées de ψ sont nulles en 0. Le développement d’Euler-Mac-Laurin entraîne que
l’on a pour tout m ∈ N une majoration |D 1 ψ(X)| ≤ C m |X|
m . Le terme ci-dessus
est donc majoré par
C 2k+2 n
k
|X|
2k+2
|P (X)(D 2 b)(n|X|
2 )|.
Le terme (D 2 b)(n|X|
2 ) est majoré uniformément et sa non-nullité implique |X|
2
≤
n
−1 . A fortiori, |X|
2
≤ 1 et |P (X)| est uniformément majoré dans ce domaine. Le
terme
n
k D 1 ψ(X)(D 2 b)(n|X|
2 )P (X)
est donc majoré par Cn
−1 pour une constante C convenable. Cela prouve (5).
Pour n assez grand, on a donc s ◦ res(f B n ) ∈ V 3 . On peut alors choisir une
fonction f n ∈ V 2 de sorte que s ◦ res(f B n − f n ) = 0. On peut alors reprendre la
démonstration du cas non-archimédien en l’appliquant à f B n − f n . On a l’analogue de 5.14(1), à savoir qu’il existe f
∈ I( ˜
U ) qui a même image que f B n − f n
dans ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (R)) Oj ,loc et dont l’image dans SI( ˜
U ) est nulle. Cette dernière
condition signifie que f
appartient à Ker(s). La première condition signifie que
res loc ◦ι(f
) = res loc ◦ι(f B n − f n ). Puisque B n vaut 1 dans un voisinage de O
˜
G ,
on a res loc ◦ι(f B n ) = res loc ◦ι(f ). On a aussi res loc ◦ι(f n ) ∈ V 1 . Cela prouve qu’il
existe un élément f
∈ Ker(s) tel que res loc ◦ι(f −f
) ∈ V 1 . D’où la densité affirmée
par (4).
Prouvons maintenant le lemme 5.13. Pour tout j = 1, . . . , k, soit γ j ∈
D g´ eom (O j ). On suppose que
j=1,...,k γ
˜
G
j est stable. On s’est ramené à trouver pour tout j une distribution δ j ∈ D
st
g´ eom (O j ) de sorte que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . Posons pour simplifier γ = ⊕ j=1,...,k γ j . C’est une forme linéaire
continue sur ⊕ j=1,...,k I( ˜
M j (F )) Oj ,loc . Comme dans le cas non-archimédien, la
stabilité de
j=1,...,k γ
˜
G
j implique que γ est nulle sur l’image de Ker(s) par
res loc ◦ι. D’après (4) et puisque cette forme linéaire est continue, elle est nulle sur
Im(res loc )∩Ker(s loc ). Les espaces intervenant ici sont fermés d’après (3). Donc γ se
descend en une forme linéaire continue sur Im(res loc )/(Im(res loc )∩Ker(s loc )). L’application s loc se quotiente en une bijection continue de cet espace sur Im(res
st
loc ).
D’après (3) et parce que nos espaces sont de Fréchet, cette bijection est un homéomorphisme. On obtient qu’il existe une forme linéaire continue δ
sur Im(res
st
loc )
telle que δ
◦ s loc coïncide avec γ sur Im(res loc ). Toujours d’après (3), on peut prolonger δ
en une forme linéaire continue δ = ⊕ j=1,...,k δ j ∈ ⊕ j=1,...,k D
st
g´ eom (O j ).
La condition précédente signifie que
j=1,...,k γ
˜
G
j =
j=1,...,k δ
˜
G
j . Cela achève la
démonstration.