156
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.6 Le cas non ramifié
I.6.1 La situation non ramifiée
Les données sont les mêmes qu’en 1.5. On suppose
(1) F est local non archimédien ;
(2) G est non ramifié (quasi-déployé sur F et déployé sur une extension non
ramifiée) ;
(3) a est non ramifié (si on note F q le corps résiduel de F et Γ
nr
F = Gal( ¯
F q /F q ),
a provient par inflation d’un élément de H
1 (Γ
nr
F , Z( ˆ
G))).
On va imposer l’hypothèse supplémentaire (4) ci-dessous mais, auparavant,
on doit poser une définition. Notons F
nr l’extension non ramifiée maximale de F
et o
nr son anneau d’entiers. Rappelons que, si E est une paire de Borel épinglée
de G définie sur F , la théorie de Bruhat-Tits lui associe un schéma en groupes
K E défini sur l’anneau des entiers o de F , et K E (o) est un sous-groupe compact
hyperspécial de G(F ). On dira que ce groupe est issu de E. Réciproquement,
soit K ⊂ G(F ) un sous-groupe compact hyperspécial . Alors il existe E tel que
K = K E (o). Le groupe K E (o
nr ) ne dépend que de K, on le note K
nr . On note
aussi Norm ˜
G(F ) (K) = {γ ∈ ˜
G(F ); ad γ (K) = K}. Remarquons que cet ensemble
peut être vide.
Soit ˜
K un sous-ensemble de ˜
G(F ). On dit que c’est un sous-espace hyperspécial si et seulement si les deux conditions (a) et (b) suivantes sont vérifiées
(a) il existe un sous-groupe compact hyperspécial K de G(F ) et un élément
γ ∈ Norm ˜
G(F ) (K) tels que ˜
K = γK = Kγ ;
(b) il existe une paire de Borel épinglée E définie sur F dont K est issu et il
existe e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ) et k ∈ K
nr de sorte que ke ∈ ˜
K.
Le groupe K du (a) est évidemment unique, ce qui donne un sens à la
deuxième condition. Dans la suite, un ensemble ˜
K vérifiant (a) étant donné, on
notera sans plus de commentaires K le groupe qui lui est associé.
On impose la condition
(4) ˜
G(F ) possède un sous-espace hyperspécial.
Remarque. L’hypothèse que G est non ramifié n’implique pas l’existence d’un sousespace hyperspécial. Par exemple, pour un entier n ≥ 1 et un élément d ∈ F
× ,
considérons G = SL(n) et ˜
G = {g ∈ GL(n); det(g) = d}. On vérifie que ˜
G(F )
possède un sous-espace hyperspécial si et seulement si la valuation de d est divisible
par n.
Revenons sur la condition (b) qui est un peu technique. Soit ˜
K vérifiant (a)
et soit E dont K soit issu. Ecrivons E = (B, T, (E α ) α∈Δ ). Le tore T est non ramifié
donc il possède une structure naturelle sur o. On a
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
I.6 Le cas non ramifié
I.6.1 La situation non ramifiée
Les données sont les mêmes qu’en 1.5. On suppose
(1) F est local non archimédien ;
(2) G est non ramifié (quasi-déployé sur F et déployé sur une extension non
ramifiée) ;
(3) a est non ramifié (si on note F q le corps résiduel de F et Γ
nr
F = Gal( ¯
F q /F q ),
a provient par inflation d’un élément de H
1 (Γ
nr
F , Z( ˆ
G))).
On va imposer l’hypothèse supplémentaire (4) ci-dessous mais, auparavant,
on doit poser une définition. Notons F
nr l’extension non ramifiée maximale de F
et o
nr son anneau d’entiers. Rappelons que, si E est une paire de Borel épinglée
de G définie sur F , la théorie de Bruhat-Tits lui associe un schéma en groupes
K E défini sur l’anneau des entiers o de F , et K E (o) est un sous-groupe compact
hyperspécial de G(F ). On dira que ce groupe est issu de E. Réciproquement,
soit K ⊂ G(F ) un sous-groupe compact hyperspécial . Alors il existe E tel que
K = K E (o). Le groupe K E (o
nr ) ne dépend que de K, on le note K
nr . On note
aussi Norm ˜
G(F ) (K) = {γ ∈ ˜
G(F ); ad γ (K) = K}. Remarquons que cet ensemble
peut être vide.
Soit ˜
K un sous-ensemble de ˜
G(F ). On dit que c’est un sous-espace hyperspécial si et seulement si les deux conditions (a) et (b) suivantes sont vérifiées
(a) il existe un sous-groupe compact hyperspécial K de G(F ) et un élément
γ ∈ Norm ˜
G(F ) (K) tels que ˜
K = γK = Kγ ;
(b) il existe une paire de Borel épinglée E définie sur F dont K est issu et il
existe e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ) et k ∈ K
nr de sorte que ke ∈ ˜
K.
Le groupe K du (a) est évidemment unique, ce qui donne un sens à la
deuxième condition. Dans la suite, un ensemble ˜
K vérifiant (a) étant donné, on
notera sans plus de commentaires K le groupe qui lui est associé.
On impose la condition
(4) ˜
G(F ) possède un sous-espace hyperspécial.
Remarque. L’hypothèse que G est non ramifié n’implique pas l’existence d’un sousespace hyperspécial. Par exemple, pour un entier n ≥ 1 et un élément d ∈ F
× ,
considérons G = SL(n) et ˜
G = {g ∈ GL(n); det(g) = d}. On vérifie que ˜
G(F )
possède un sous-espace hyperspécial si et seulement si la valuation de d est divisible
par n.
Revenons sur la condition (b) qui est un peu technique. Soit ˜
K vérifiant (a)
et soit E dont K soit issu. Ecrivons E = (B, T, (E α ) α∈Δ ). Le tore T est non ramifié
donc il possède une structure naturelle sur o. On a