I.6. Le cas non ramifié
157
(5) si E vérifie (b), alors il existe e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ) et t ∈ T (o
nr ) de sorte que
te ∈ ˜
K ;
(6) si la caractéristique résiduelle p de F ne divise pas le nombre d’éléments du
conoyau de l’homomorphisme X ∗ (T ) → X ∗ (T ad ), alors (b) est vérifiée pour E.
Preuve. Soit γ ∈ ˜
K. La paire ad γ (E) est une paire de Borel épinglée définie sur
F . Deux telles paires sont conjuguées sous le groupe adjoint G AD (F ). Soit donc
x ∈ G AD (F ) tel que ad x ◦ ad γ (E) = E. L’automorphisme ad x ◦ ad γ est défini
sur F . Puisqu’il conserve E, il conserve aussi le sous-groupe hyperspécial issu de
E : ad x ◦ ad γ (K) = K. Puisque ad γ (K) = K, on a donc ad x (K) = K. Cela
entraîne que x appartient au sous-groupe hyperspécial K AD de G AD (F ) associé à
la paire de Borel épinglée (B ad , T ad , (E α ) α∈Δ ) déduite de E. D’après Bruhat-Tits,
l’application produit
T ad (o) × K → K AD
est surjective. Quitte à multiplier γ par un élément de K, on peut donc supposer que x ∈ T ad (F ). Supposons (b) vérifiée. On écrit γ = ke comme dans cette
assertion. Puisque ad x ◦ ad γ et ad e conservent E, ad x ◦ ad k conserve aussi E. Cela
entraîne que l’image de k dans G AD (F
nr ) est égale à x
−1 . Donc k appartient à
T (F
nr ). Étant aussi dans K
nr , il appartient à T (o
nr ), ce qui prouve (5). Supposons
maintenant que p vérifie l’hypothèse de (6). Alors l’application naturelle
T (o
nr ) → T ad (o
nr )
est surjective. Donc x
−1 est l’image dans G AD (F ) d’un élément t ∈ T (o
nr ).
Puisque ad x ◦ ad γ (E) = E, l’élément e = t
−1 γ conserve E. Donc e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ).
La propriété (b) est alors satisfaite d’après l’égalité γ = te.
Dans certains cas (en particulier pour les applications globales), on peut
imposer une hypothèse supplémentaire, à savoir
(Hyp) la caractéristique résiduelle p de F est grande, plus précisément p >
N (G)e F + 1, où N (G) est l’entier dépendant de G défini en [79] 4.3 et e F
est l’indice de ramification de F/Q p .
Nous ne l’imposons pas ici.
I.6.2 Données endoscopiques non ramifiées
Pour la suite de la section, on fixe un espace hyperspécial ˜
K. On fixe aussi une
paire de Borel épinglée dont K est issu et telle que 6.1 (b) soit vérifiée. On identifie
cette paire avec la paire E
∗ .
On note I F ⊂ W F le groupe d’inertie. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée
endoscopique de (G, ˜
G, a). On dit qu’elle est non ramifiée si I F ⊂ G
. Cela entraîne :
(1) G
est non ramifié.
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(5) si E vérifie (b), alors il existe e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ) et t ∈ T (o
nr ) de sorte que
te ∈ ˜
K ;
(6) si la caractéristique résiduelle p de F ne divise pas le nombre d’éléments du
conoyau de l’homomorphisme X ∗ (T ) → X ∗ (T ad ), alors (b) est vérifiée pour E.
Preuve. Soit γ ∈ ˜
K. La paire ad γ (E) est une paire de Borel épinglée définie sur
F . Deux telles paires sont conjuguées sous le groupe adjoint G AD (F ). Soit donc
x ∈ G AD (F ) tel que ad x ◦ ad γ (E) = E. L’automorphisme ad x ◦ ad γ est défini
sur F . Puisqu’il conserve E, il conserve aussi le sous-groupe hyperspécial issu de
E : ad x ◦ ad γ (K) = K. Puisque ad γ (K) = K, on a donc ad x (K) = K. Cela
entraîne que x appartient au sous-groupe hyperspécial K AD de G AD (F ) associé à
la paire de Borel épinglée (B ad , T ad , (E α ) α∈Δ ) déduite de E. D’après Bruhat-Tits,
l’application produit
T ad (o) × K → K AD
est surjective. Quitte à multiplier γ par un élément de K, on peut donc supposer que x ∈ T ad (F ). Supposons (b) vérifiée. On écrit γ = ke comme dans cette
assertion. Puisque ad x ◦ ad γ et ad e conservent E, ad x ◦ ad k conserve aussi E. Cela
entraîne que l’image de k dans G AD (F
nr ) est égale à x
−1 . Donc k appartient à
T (F
nr ). Étant aussi dans K
nr , il appartient à T (o
nr ), ce qui prouve (5). Supposons
maintenant que p vérifie l’hypothèse de (6). Alors l’application naturelle
T (o
nr ) → T ad (o
nr )
est surjective. Donc x
−1 est l’image dans G AD (F ) d’un élément t ∈ T (o
nr ).
Puisque ad x ◦ ad γ (E) = E, l’élément e = t
−1 γ conserve E. Donc e ∈ Z( ˜
G, E; F
nr ).
La propriété (b) est alors satisfaite d’après l’égalité γ = te.
Dans certains cas (en particulier pour les applications globales), on peut
imposer une hypothèse supplémentaire, à savoir
(Hyp) la caractéristique résiduelle p de F est grande, plus précisément p >
N (G)e F + 1, où N (G) est l’entier dépendant de G défini en [79] 4.3 et e F
est l’indice de ramification de F/Q p .
Nous ne l’imposons pas ici.
I.6.2 Données endoscopiques non ramifiées
Pour la suite de la section, on fixe un espace hyperspécial ˜
K. On fixe aussi une
paire de Borel épinglée dont K est issu et telle que 6.1 (b) soit vérifiée. On identifie
cette paire avec la paire E
∗ .
On note I F ⊂ W F le groupe d’inertie. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée
endoscopique de (G, ˜
G, a). On dit qu’elle est non ramifiée si I F ⊂ G
. Cela entraîne :
(1) G
est non ramifié.