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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Pour w ∈ I F , soit g w = (g(w), w) ∈ G
qui agit par w G sur ˆ
G
. Puisque
w ∈ G
, on a aussi g(w) ∈ G
. Puisque G
∩ ˆ
G = ˆ
G
, on a g(w) ∈ ˆ
G
. On a
w G = ad g(w) ◦w G = ad g(w) , car w G = 1 (G est non ramifié). Donc w G est
un automorphisme intérieur de ˆ
G
. Il conserve par définition une paire de Borel
épinglée, c’est donc l’identité.
On suppose désormais G
non ramifiée.
Conformément à 6.1(5), fixons un élément e ∈ Z( ˜
G; F
nr ) qui soit l’image
d’un élément de l’intersection Z( ˜
G, E
∗ ; F
nr ) ∩ T
∗ (o
nr ) ˜
K, soit e
son image dans
Z( ˜
G
; F
nr ). Fixons une paire de Borel épinglée E
= (B
, T
, (E
α ) α∈Δ ) de G
définie sur F . Soit K
le sous-groupe compact hyperspécial de G
(F ) qui s’en
déduit. Pour σ ∈ Γ F , soit z
(σ) ∈ Z(G
) tel que e
= z
(σ)σ(e
). Par construction,
le cocycle z
est non ramifié et prend ses valeurs dans T
(o
nr ). Or ce groupe est
cohomologiquement trivial (cela résulte du théorème de Lang). On peut choisir
t
∈ T
(o
nr ) tel que z
(σ) = σ(t
)t
−1 . Alors t
e
∈ ˜
G
(F ) et il est clair que
t
e
∈ Norm ˜
G (F ) (K
). L’ensemble ˜
K
= K
t
e
est un sous-espace hyperspécial de
˜
G
(F ). On voit qu’il ne dépend pas des choix de e et t
. La classe de conjugaison par
G
AD (F ) du couple (K
, ˜
K
) ne dépend pas des choix des paires de Borel épinglées.
Elle dépend par contre du couple (K, ˜
K) que l’on a fixé.
Ainsi l’espace ˜
K que l’on a fixé détermine un espace analogue ˜
K
pour ˜
G
(F ),
à conjugaison près par G
AD (F ). Dans les raisonnements par récurrence, et dans
ce qui suit, ˜
G
(F ) sera supposé muni d’un tel ensemble ˜
K
issu de ˜
K.
Lemme. La donnée G
est relevante.
Preuve. Notons θ
∗ l’automorphisme ad e pour tout élément e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). Il est
défini sur F . Introduisons le groupe G 1 = G
θ
∗ ,0 . A E
∗ est associé une paire de Borel
épinglée E 1 = (B 1 , T 1 , (E α1 ) α1∈Δ1 ) de G 1 . On a B 1 = B
∗
∩ G 1 , T 1 = T
∗
∩ G 1 , Δ 1
est l’image de Δ par restriction à T 1 . Pour α 1 ∈ Δ 1 , E α1 est la somme des E α pour
α ∈ Δ de restriction α 1 (ces α forment une seule orbite pour l’action du groupe
engendré par θ
∗ ). De la paire E 1 est issu un sous-groupe compact hyperspécial
K 1 de G 1 (F ). Il résulte des constructions de Bruhat et Tits que K 1 ⊂ K. Des
paires E
∗ et E
est issu un homomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il existe un cocycle
ω G : Γ F → W
θ
∗ tel que σ(ξ T ∗ ,T ) = ξ T ∗ ,T ◦ ω G (σ). Il est évidemment non
ramifié. Choisissons un élément de Frobenius φ ∈ Γ F . Introduisons la section de
Springer n 1 : W
θ
∗ → G 1 . Il résulte des constructions qu’elle prend ses valeurs
dans K
nr
1 . Posons x = n 1 (ω G (φ)). On vérifie que x appartient à un sous-groupe
fini de K
nr
1 invariant par Γ F (le groupe engendré par l’image de n 1 et les éléments
d’ordre 2 de T 1 (o
nr ) convient). Appliquant par exemple [79] 4.2(1), on voit qu’il
existe k ∈ K
nr
1 tel que x = kφ(k)
−1 . Posons E = ad k −1 (E
∗ ), notons (B, T ) la
paire de Borel sous-jacente à E. L’homomorphisme ξ T,T déduit de cette paire
et de E
est ξ T ∗ ,T ◦ ad k . D’après les constructions, il est équivariant pour les
actions galoisiennes. Fixons e ∈ Z( ˜
G, E
∗ )(F
nr ) ∩ T
∗ (o
nr ) ˜
K. Pour σ ∈ Γ F , soit
z(σ) ∈ Z(G) tel que e = z(σ)σ(e). Alors z est un cocycle non ramifié à valeurs
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Preuve. Pour w ∈ I F , soit g w = (g(w), w) ∈ G
qui agit par w G sur ˆ
G
. Puisque
w ∈ G
, on a aussi g(w) ∈ G
. Puisque G
∩ ˆ
G = ˆ
G
, on a g(w) ∈ ˆ
G
. On a
w G = ad g(w) ◦w G = ad g(w) , car w G = 1 (G est non ramifié). Donc w G est
un automorphisme intérieur de ˆ
G
. Il conserve par définition une paire de Borel
épinglée, c’est donc l’identité.
On suppose désormais G
non ramifiée.
Conformément à 6.1(5), fixons un élément e ∈ Z( ˜
G; F
nr ) qui soit l’image
d’un élément de l’intersection Z( ˜
G, E
∗ ; F
nr ) ∩ T
∗ (o
nr ) ˜
K, soit e
son image dans
Z( ˜
G
; F
nr ). Fixons une paire de Borel épinglée E
= (B
, T
, (E
α ) α∈Δ ) de G
définie sur F . Soit K
le sous-groupe compact hyperspécial de G
(F ) qui s’en
déduit. Pour σ ∈ Γ F , soit z
(σ) ∈ Z(G
) tel que e
= z
(σ)σ(e
). Par construction,
le cocycle z
est non ramifié et prend ses valeurs dans T
(o
nr ). Or ce groupe est
cohomologiquement trivial (cela résulte du théorème de Lang). On peut choisir
t
∈ T
(o
nr ) tel que z
(σ) = σ(t
)t
−1 . Alors t
e
∈ ˜
G
(F ) et il est clair que
t
e
∈ Norm ˜
G (F ) (K
). L’ensemble ˜
K
= K
t
e
est un sous-espace hyperspécial de
˜
G
(F ). On voit qu’il ne dépend pas des choix de e et t
. La classe de conjugaison par
G
AD (F ) du couple (K
, ˜
K
) ne dépend pas des choix des paires de Borel épinglées.
Elle dépend par contre du couple (K, ˜
K) que l’on a fixé.
Ainsi l’espace ˜
K que l’on a fixé détermine un espace analogue ˜
K
pour ˜
G
(F ),
à conjugaison près par G
AD (F ). Dans les raisonnements par récurrence, et dans
ce qui suit, ˜
G
(F ) sera supposé muni d’un tel ensemble ˜
K
issu de ˜
K.
Lemme. La donnée G
est relevante.
Preuve. Notons θ
∗ l’automorphisme ad e pour tout élément e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). Il est
défini sur F . Introduisons le groupe G 1 = G
θ
∗ ,0 . A E
∗ est associé une paire de Borel
épinglée E 1 = (B 1 , T 1 , (E α1 ) α1∈Δ1 ) de G 1 . On a B 1 = B
∗
∩ G 1 , T 1 = T
∗
∩ G 1 , Δ 1
est l’image de Δ par restriction à T 1 . Pour α 1 ∈ Δ 1 , E α1 est la somme des E α pour
α ∈ Δ de restriction α 1 (ces α forment une seule orbite pour l’action du groupe
engendré par θ
∗ ). De la paire E 1 est issu un sous-groupe compact hyperspécial
K 1 de G 1 (F ). Il résulte des constructions de Bruhat et Tits que K 1 ⊂ K. Des
paires E
∗ et E
est issu un homomorphisme ξ T ∗ ,T : T
∗
→ T
. Il existe un cocycle
ω G : Γ F → W
θ
∗ tel que σ(ξ T ∗ ,T ) = ξ T ∗ ,T ◦ ω G (σ). Il est évidemment non
ramifié. Choisissons un élément de Frobenius φ ∈ Γ F . Introduisons la section de
Springer n 1 : W
θ
∗ → G 1 . Il résulte des constructions qu’elle prend ses valeurs
dans K
nr
1 . Posons x = n 1 (ω G (φ)). On vérifie que x appartient à un sous-groupe
fini de K
nr
1 invariant par Γ F (le groupe engendré par l’image de n 1 et les éléments
d’ordre 2 de T 1 (o
nr ) convient). Appliquant par exemple [79] 4.2(1), on voit qu’il
existe k ∈ K
nr
1 tel que x = kφ(k)
−1 . Posons E = ad k −1 (E
∗ ), notons (B, T ) la
paire de Borel sous-jacente à E. L’homomorphisme ξ T,T déduit de cette paire
et de E
est ξ T ∗ ,T ◦ ad k . D’après les constructions, il est équivariant pour les
actions galoisiennes. Fixons e ∈ Z( ˜
G, E
∗ )(F
nr ) ∩ T
∗ (o
nr ) ˜
K. Pour σ ∈ Γ F , soit
z(σ) ∈ Z(G) tel que e = z(σ)σ(e). Alors z est un cocycle non ramifié à valeurs